求解某行元素的代数余子式之和：千万不要傻傻的直接算哦

一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 4& 0\\ 2& -1& -1& 2\\ 0& -6& 0& 0\\ 2& 4& -1& 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

难度评级：

二、解析

设：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 4& 0\\ 2& -1& -1& 2\\ 0& -6& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

则：

$$|A|=1\cdot A_{41}+1\cdot A_{42}+1\cdot A_{43}+1\cdot A_{44}\Rightarrow$$

$$|A|=A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}\Rightarrow$$

$$|A|=(-1{)}^{3+2}\cdot (-6)\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 2& -1& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$|A|=6(-1+8-8-2)=-18\Rightarrow$$

$$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=-18$$

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