X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续

一、题目

已知 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$, $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 皆存在，则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续

(B) $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$ 存在

(C) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微

(D) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y_0)=\underset{y\to y_0}{lim}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$

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二、解析

首先，在 X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在不能说明函数在对应点【处处连续】，因此，(A) 和 (B) 两个选项都是错误的。

接着，只有当偏导数都存在且连续的时候才能说明可微，仅有 X 轴和 Y 轴两个分量上的偏导数存在并不能说明函数在该点处可微，因此，(C) 选项错误。

对于 (D) 选项，我们知道，由于偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 就是一元函数 $f(x,y_0)$ 在 $x=x_0$ 处的“导数”，那么，既然 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 存在，由“可导必连续”的准则可知，一元函数 $f(x,y_0)$ 在 $x=x_0$ 处连续，即：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)$$

同理可知，一元函数 $f(x_0,y)$ 在 $y=y_0$ 处连续，即：

$$\underset{y\to y_0}{lim}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$$

综上可知：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y_0)=\underset{y\to y_0}{lim}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$$

因此，本题的正确选项为 (D).

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