二元偏导数中两个变量都趋于同一个坐标点时极限仍存在才叫偏导数连续

一、题目

函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是下面哪一个？

(A) $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}[f(x,y)-f(0,0)]=0$.

(B) $\underset{x\to 0}{lim}{f}_x^{\prime }(x,0)=f_x^{\prime }(0,0)$ 且 $\underset{y\to 0}{lim}{f}_y^{\prime }(0,y)=f_y^{\prime }(0,0)$.

(C) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\underset{y\to 0}{lim}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$ 都存在.

(D) $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(0,0)$ 且 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(0,0)$.

难度评级：

二、解析

A 选项：原函数 $f$ 连续；

B 选项：偏导数存在且只在该点的 $x$ 轴分量或者 $y$ 轴分量上连续；

C 选项：一点处的偏导数存在（但该偏导数不一定在该点处的 $x$ 轴分量或者 $y$ 轴分量上的 $(0,0)$ 点处连续，也不一定在该点的邻域曲面上处处连续）；

Tips:

即使一点处的偏导数存在，但该偏导数在该点处仍然不一定是连续的。具体例题可以参考《一点处的（偏）导数存在不能说明该（偏）导数在该点处连续》

D 选项：偏导数存在且连续（这里的“连续”指的是在点 $(0,0)$ 的邻域曲面上处处连续，因为这里的极限反映的是 $x$ 和 $y$ 两个变量同时趋于坐标点 $(0,0)$ 时的极限）。

综上可知，由于只有当偏导数存在且连续的时候才能推出一点处可微，再由“前充分后必要”可知，只有 $D$ 选项满足条件。

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