包含 e 的极限问题典型解题思路之一：通过提取公倍式构造无穷小

一、题目

$I = lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}} = ?$

难度评级：

二、解析

当 $x \to 0$ 时，有：

$I = \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}} =$

$\frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - e^{\frac{e}{x} \ln (1 + x)}}{x^{2}} =$

提取 $e^{\frac{e}{x} \ln (1 + x)}$ :

$\frac{e^{\frac{e}{x} \ln (1 + x)} [e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - \frac{e}{x} \ln (1 + x)} - 1]}{x^{2}} .$

又：

$lim_{x \to 0} e^{\frac{e}{x} \ln (1 + x)} = e^{e}$

$lim_{x \to 0} [(1 + x)^{\frac{1}{x}} - \frac{e}{x} \ln (1 + x)] \to 0$

于是：

$I = \frac{e^{e} [(1 + x)^{\frac{1}{x}} - \frac{e}{x} \ln (1 + x)]}{x^{2}} \Rightarrow$

$\frac{e^{e} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)} - \frac{e}{x} \ln (1 + x)]}{x^{2}} =$

提取 $e$ :

$\frac{e^{e + 1} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x) - 1} - \frac{1}{x} \ln (1 + x)]}{x^{2}} =$

$\frac{e^{e + 1} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x) - 1} - (\frac{1}{x} \ln (1 + x) - 1) - 1]}{x^{2}} =$

又 $x \to 0$ $\Rightarrow$ $e^{x} - 1 - x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ , 于是：

$\frac{e^{e + 1} \cdot \frac{1}{2} {[\frac{1}{x} \ln (1 + x) - 1]}^{2}}{x^{2}} =$

$\frac{1}{2} e^{e + 1} \cdot \frac{[\ln (1 + x) - x]^{2}}{x^{4}} =$

$\frac{1}{2} e^{e + 1} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2} x^{2})}^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{8} e^{e + 1} .$

【补充】关于前面用到的 $e^{x} - 1 - x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 这个等价无穷小，我们可以根据泰勒公式计算出来：

$x = 0 \Rightarrow$

$e^{x} = f (0) + f^{'} (0) (x - 0) + \frac{f^{''} (0) (x - 0)^{2}}{2!} \Rightarrow$

$e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow$

$e^{x} - 1 - x \sim \frac{1}{2} x^{2}$