包含 e 的极限问题典型解题思路之一：通过提取公倍式构造无穷小

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}=?
$$

难度评级：

二、解析

当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
I = \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}=
$$

$$
\frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e^{\frac{e}{x} \ln (1+x)}}{x^{2}}=
$$

提取 $e^{\frac{e}{x} \ln (1+x)}$:

$$
\frac{e^{\frac{e}{x} \ln (1+x)}\left[e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e}{x} \ln (1+x)}-1\right]}{x^{2}}.
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\frac{e}{x} \ln (1+x)}=e^{e}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[(1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e}{x} \ln (1+x)\right] \rightarrow 0
$$

于是：

$$
I = \frac{e^{e}\left[(1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e}{x} \ln (1+x)\right]}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{e^{e}\left[e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}-\frac{e}{x} \ln (1+x)\right]}{x^{2}} =
$$

提取 $e$:

$$
\frac{e^{e+1}\left[e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}-\frac{1}{x} \ln (1+x)\right]}{x^{2}}=
$$

$$
\frac{e^{e+1}\left[e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}-\left(\frac{1}{x} \ln (1+x)-1\right)-1\right]}{x^{2}} =
$$

又 $x \rightarrow 0$ $\Rightarrow$ $e^{x}-1-x \sim \frac{1}{2} x^{2}$, 于是：

$$
\frac{e^{e+1} \cdot \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x} \ln (1+x)-1\right]^{2}}{x^{2}}=
$$

$$
\frac{1}{2} e^{e+1} \cdot \frac{[\ln (1+x)-x]^{2}}{x^{4}}=
$$

$$
\frac{1}{2} e^{e+1} \cdot \frac{\left(-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{2}}{x^{4}}=\frac{1}{8} e^{e+1}.
$$

【补充】关于前面用到的 $e^{x}-1-x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 这个等价无穷小，我们可以根据泰勒公式计算出来：

$$
x=0 \Rightarrow
$$

$$
e^{x}=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{2}}{2 !} \Rightarrow
$$

$$
e^{x}=1+x+\frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
e^{x}-1-x \sim \frac{1}{2} x^{2}
$$

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