这里有个不一般的三维分段函数

一、题目

已知 $f(x,y)$ $=$ $\{\begin{array}{cc}xy,& xy\ne 0,\\ 1,& xy=0,\end{array}$ 则下列命题中哪个或哪些是正确的：

(1) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点两个偏导数都存在

(2) $lim{f}_x^{\prime }(x,0)$ $=$ $f_x^{\prime }(0,0)$, 且 $lim{f}_y^{\prime }(0,y)$ $=$ $f_y^{\prime }(0,0)$

(3) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点两个偏导数都连续

(4) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点可微

难度评级：

二、解析

$$xy\ne 0\Rightarrow x\ne 0\text{或者}y\ne 0$$

$$xy=0\Rightarrow x=0\text{或者}y=0$$

(1)

已知：

$$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-1}{x}=0$$

同理可得：

$$f_y^{\prime }(0,0)=0$$

或者，我们可以通过如下方式验证：

$$f_x^{\prime }(0,0)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x,0)]|}_{x=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)|}_{x=0}=0$$

同理可得：

$$f_y^{\prime }(0,0)=0$$

综上，(1) 正确。

(2)

由于：

$$f_x^{\prime }(x,0)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x,0)]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[1]=0$$

$$f_x^{\prime }(0,0)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[1]=0$$

因此：

$$\underset{x\to 0}{lim}{f}_x^{\prime }(x,0)=f_x^{\prime }(0,0)=0$$

同理可知：

$$\underset{y\to 0}{lim}{f}_y^{\prime }(0,y)=f^{\prime }y(0,0)$$

综上，(2) 正确。

(3)

Tips:

(3) 说的是在点 $(0,0)$ 这一点处的偏导数，而不是趋近于这一点时的偏导数。

当 $x\ne 0,y=0$ 时：

$$f_y^{\prime }(x,0)=\underset{y\to 0}{lim}\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=$$

$$\underset{y\to 0}{lim}\frac{xy-1}{y}=\mathrm{\infty }$$

$$f_x^{\prime }(x,0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-1}{x}=0.$$

综上，(3) 错误。

(4)

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y=x\end{array}}{lim}f(x,y)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y=x\end{array}}{lim}{x}^2=0$$

$$f(0,0)=1\Rightarrow$$

$$0\ne 1$$

综上，(4) 错误。

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