这里有个不一般的三维分段函数

一、题目

已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题中哪个或哪些是正确的：

(1) $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点两个偏导数都存在

(2) $\lim f_{x}^{\prime}(x, 0)$ $=$ $f_{x}^{\prime}(0,0)$, 且 $\lim f_{y}^{\prime}(0, y)$ $=$ $f_{y}^{\prime}(0,0)$

(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点两个偏导数都连续

(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微

难度评级：

二、解析

$$
x y \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \quad \text{或者} \quad y \neq 0
$$

$$
x y=0 \Rightarrow x=0 \quad \text{或者} \quad y=0
$$

(1)

已知：

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-1}{x}=0
$$

同理可得：

$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=0
$$

或者，我们可以通过如下方式验证：

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\left.\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x}[f(x, 0)]\right|_{x=0}=\left.\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x}(1)\right|_{x=0}=0
$$

同理可得：

$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=0
$$

综上，(1) 正确。

(2)

由于：

$$
f_{x}^{\prime}(x, 0)=\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x}[f(x, 0)]=\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x}[1]=0
$$

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x}[1]=0
$$

因此：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)=0
$$

同理可知：

$$
\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f^{\prime} y(0,0)
$$

综上，(2) 正确。

(3)

Tips:

(3) 说的是在点 $(0,0)$ 这一点处的偏导数，而不是趋近于这一点时的偏导数。

当 $x \neq 0, \ y=0$ 时：

$$
f_{y}^{\prime}(x, 0)=\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{f(x, y)-f(x, 0)}{y}=
$$

$$
\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{x y-1}{y}=\infty
$$

$$
f_{x}^{\prime}(x, 0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-1}{x}=0 .
$$

综上，(3) 错误。

(4)

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y=x}} f(x, y)=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=x}} x^{2}=\textcolor{orange}{0}
$$

$$
f(0,0)=\textcolor{green}{1} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{0} \neq \textcolor{green}{1}
$$

综上，(4) 错误。

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