这里有个不一般的三维分段函数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x,y) = {xy,xy0,1,xy=0, 则下列命题中哪个或哪些是正确的:

(1) f(x,y)(0,0) 点两个偏导数都存在

(2) limfx(x,0) = fx(0,0), 且 limfy(0,y) = fy(0,0)

(3) f(x,y)(0,0) 点两个偏导数都连续

(4) f(x,y)(0,0) 点可微

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

xy0x0或者y0

xy=0x=0或者y=0

(1)

已知:

fx(0,0)=limx0f(x,0)f(0,0)x=limx011x=0

同理可得:

fy(0,0)=0

或者,我们可以通过如下方式验证:

fx(0,0)=ddx[f(x,0)]|x=0=ddx(1)|x=0=0

同理可得:

fy(0,0)=0

综上,(1) 正确。

(2)

由于:

fx(x,0)=ddx[f(x,0)]=ddx[1]=0

fx(0,0)=ddx[1]=0

因此:

limx0fx(x,0)=fx(0,0)=0

同理可知:

limy0fy(0,y)=fy(0,0)

综上,(2) 正确。

(3)

Tips:

(3) 说的是在点 (0,0) 这一点处的偏导数,而不是趋近于这一点时的偏导数。

x0, y=0 时:

fy(x,0)=limy0f(x,y)f(x,0)y=

limy0xy1y=

fx(x,0)=limx0f(x,0)f(0,0)x=

limx011x=0.

综上,(3) 错误。

(4)

limx0y=xf(x,y)=limx0y=xx2=0

f(0,0)=1

01

综上,(4) 错误。


荒原之梦考研数学思维导图
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