这道题算是算不出来的，只能“分类讨论”这样子

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 又 $f^{\prime }(x)+f^2(x)$ $-$ ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $0$ 且 ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0$, 则 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $(a,b)$ 内是恒为负？还是恒为正？变号？还是恒为零？

难度评级：

二、解析

若令 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 则：

$$F(a)={\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0$$

$$F(b)={\int }_{a_2}^{b}f(t)\mathrm{d}t=0$$

于是：

$$f^{\prime }(x)+f^2(x)-{\int }_{a_2}^{x}f(t)\mathrm{d}t=0\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }(x)+{[F^{\prime }(x)]}^2-F(x)=0$$

接着进行分类讨论：

情况 (1)

示意图：

$$x\in [a,b],f(x)>0\Rightarrow max[a,b]=x_0\Rightarrow$$

$$F\left(x_0\right)>0,F^{\prime }\left(x_0\right)=0,F^{\prime \prime }\left(x_0\right)⩽0\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }\left(x_0\right)+{\left[F^{\prime }\left(x_0\right)\right]}^2-F\left(x_0\right)\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }\left(x_0\right)-F\left(x_0\right)<0\ne 0$$

情况 (2)

示意图：

$$x\in [a,b],F(x)<0\Rightarrow min[a,b]=x_1\Rightarrow$$

$$F\left(x_1\right)<0,F^{\prime }\left(x_1\right)=0,F^{\prime \prime }\left(x_1\right)⩾0\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }\left(x_1\right)+{\left[F^{\prime }\left(x_1\right)\right]}^2-F\left(x_1\right)\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }\left(x_1\right)-F\left(x_1\right)<0\ne 0$$

情况 (3)

$$x\in [a,c),F(x)>0x\in [c,b],F(x)<0$$

示意图：

使用类似情况 (1) 和 (2) 中的判断方式可知，$[a,c)$ 和 $[c,d]$ 区间上都不满足 $f^{\prime }(x)+f^2(x)$ $-$ ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $0$

情况 (4)

$$x\in [a,c),F(x)<0x\in [c,b],F(x)>0$$

示意图：

使用类似情况 (1) 和 (2) 中的判断方式可知，$[a,c)$ 和 $[c,d]$ 区间上都不满足 $f^{\prime }(x)+f^2(x)$ $-$ ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $0$

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