明白了这两张图你就记住了这两个重要的常用不等式

一、前言

我们知道，下面这两个不等式很常用也很重要（已知 $a⩾0$, $b⩾0$）：

$$a^2+b^2⩾2ab$$

$$a+b⩾2\sqrt{ab}$$

那么，你知道这两个不等式背后隐藏的几何规律吗？你是怎么记住这两个不等式的？其实，只要搞明白这背后的几何原理，想记不住它们都难哦！

Tips:

本文中的理解方法由荒原之梦（zhaokaifeng.com）原创。

二、解析

$a^2+b^2⩾2ab$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2⩾ab+ab$

该不等式表达的意思就是：

在【和】一定的情况下，两个数字越【接近】，相【乘】所得的数就越【大】。

例如，$2+2$ 和 $1+3$ 都等于 $4$, 但是，由于 $2$ 和 $2$ 很“接近”，$1$ 和 $3$ 相对不那么“接近”，因此，$2\times 2$ 大于 $1\times 3$.

如图 01 所示，当 $a$ 和 $b$ 相差不多的时候是一个矩形，其面积 $S=ab=K$（其中，$K$ 是一个不为零的常数），但是，当 $a\to 0$ 时，$b\to +\mathrm{\infty }$, 此时，原本的矩形其实就变成了一条“线段”，由于线段是没有面积的，因此，此时的面积 $S\to 0$:

$a+b⩾2\sqrt{ab}$ $\Rightarrow$ $a+b⩾\sqrt{ab}+\sqrt{ab}$

该不等式表达的意思就是：

在【积】一定的情况下，两个数字越【接近】，相【加】所得的数就越【小】。

例如，$1\times 4$ 和 $2\times 2$ 都等于 $4$, 但是，由于 $1$ 与 $4$ 之间的距离相较于 $2$ 与 $2$ 之间的距离更大，因此，$1+4$ 大于 $2+2$.

由于 $\sqrt{ab}$ 相当于把 $a$ 与 $b$ 融合之后再通过开方的方式平分，因此，$\sqrt{ab}$ 加上 $\sqrt{ab}$ 就没有直接令 $a$ 与 $b$ 相加更大。

如图 02 所示，在保证面积不变的情况下，如果我们把左侧的矩形切成 $n\times n$ 份，之后再拼接成一排，就会发现，其“长”加“宽”的值由原来的 $a+b$ 变成了 $+\mathrm{\infty }$ 了：

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