与三次函数有三个交点？还是选择题？画图秒解！

一、题目

假设曲线 $y=x^3-3x$ 与直线 $y=A$ 有 3 个不同的交点，则以下结论成立的是哪个？

(A) $A<3$.

(B) $A>-3$.

(C) $-2<A<2$.

(D) $A\ne 0$.

难度评级：

二、解析

满足题意得示意图如下：

因此，只能选 C.

当然，如果这不是选择题，那么，我们就可以进行如下计算：

$$y^{\prime }=3x^2-3\Rightarrow y^{\prime }=0\Rightarrow x=\pm 1$$

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\text{ 单调递增 }$$

$$x\in (-1,1)\Rightarrow y^{\prime }<0\Rightarrow y\text{ 单调递减 }$$

$$x\in (1,+\mathrm{\infty })\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\text{ 单调递增 }$$

$$x=-1\Rightarrow y(-1)=-1+3=2$$

$$x=1\Rightarrow y(1)=1-3=-2$$

综上：

$$-2<A<2$$

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