一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
求解函数 $f(x)$ 的零点的个数:
$$
f(x) = \ln x – \frac{x}{e} + k
$$
其中,$k$ $>$ $0$.
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
解题思路:函数 $f(x)$ 的零点就是函数 $f(x)$ 的图象与直角坐标系 $x$ 轴的交点——要找到这些“交点”,就要知道函数 $f(x)$ 的增减性,而要确定函数 $f(x)$ 的增减性,就要从函数 $f(x)$ 一阶导的正负性入手。
Next
首先:
$$
f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{e}.
$$
Next
于是:
- 当 $x$ $=$ $e$ 时,$f^{\prime}(x)$ $=$ $0$,$f(x)$ 取得极大值 $f(e)$ $=$ $k$, 其中 $k$ $>$ $0$;
- 当 $0$ $<$ $x$ $<$ $e$ 时,$f^{\prime}(x)$ $>$ $0$, $f(x)$ 单调递增;
- 当 $e$ $<$ $x$ 时,$f^{\prime}(x)$ $<$ $0$, $f(x)$ 单调递减;
注意:在分子一样的情况下,分母越大,整个分式的值越小。
Next
此外:
$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty – 0 + k = – \infty.
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \Rightarrow
$$
当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时,$\ln x$ $\ll$ $\frac{1}{e} x$ $\Rightarrow$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty.
$$
Next
进而,我们可以画出关于函数 $f(x)$ 的如下图象示意图:
![荒原之梦 | 高等数学习题](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2023/03/19/912572216f5b99631baba3a0b4651d06cad5ab586b37d6c1f0e1dcfb086ccde8da4c9a7f516ee1b6da4cd37c1f6392d0bcf6ac383f2de16edd712724be1df9cf.webp)
综上可知,函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴有两个交点,因此,函数 $f(x)$ 存在两个零点。
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。