求解函数 $f(x)$ $=$ $\ln x$ $-$ $\frac{x}{e}$ $+$ $k$ 零点的个数

一、题目题目 - 荒原之梦

求解函数 $f(x)$ 的零点的个数:

$$
f(x) = \ln x – \frac{x}{e} + k
$$

其中,$k$ $>$ $0$.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解题思路:函数 $f(x)$ 的零点就是函数 $f(x)$ 的图象与直角坐标系 $x$ 轴的交点——要找到这些“交点”,就要知道函数 $f(x)$ 的增减性,而要确定函数 $f(x)$ 的增减性,就要从函数 $f(x)$ 一阶导的正负性入手。

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首先:

$$
f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{e}.
$$

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于是:

  1. 当 $x$ $=$ $e$ 时,$f^{\prime}(x)$ $=$ $0$,$f(x)$ 取得极大值 $f(e)$ $=$ $k$, 其中 $k$ $>$ $0$;
  2. 当 $0$ $<$ $x$ $<$ $e$ 时,$f^{\prime}(x)$ $>$ $0$, $f(x)$ 单调递增;
  3. 当 $e$ $<$ $x$ 时,$f^{\prime}(x)$ $<$ $0$, $f(x)$ 单调递减;

注意:在分子一样的情况下,分母越大,整个分式的值越小。

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此外:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty – 0 + k = – \infty.
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \Rightarrow
$$

当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时,$\ln x$ $\ll$ $\frac{1}{e} x$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty.
$$

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进而,我们可以画出关于函数 $f(x)$ 的如下图象示意图:

荒原之梦 | 高等数学习题
图 01.

综上可知,函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴有两个交点,因此,函数 $f(x)$ 存在两个零点。


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