“绝对值”和“讨论正负”是好兄弟姐妹

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，又 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{|x|}=1$, 则 $f^{\prime }(0)$ 存在吗？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\{\begin{array}{ll}& \underset{x\to 0}{lim}f(x)=0\\ & \underset{x\to 0}{lim}f(x)=f(0)\end{array}\Rightarrow f(0)=0$$

于是：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{|x|}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=1$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)}{|x|}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{-x-0}=\frac{f(x)}{-x}=-1$$

综上可知，$f_{+}^{\prime }(0)$, $f_{-}^{\prime }(0)$ 均存在，但是 $f_{+}^{\prime }(0)\ne f_{-}^{\prime }(0)$, 因此，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

---