这个函数没说二阶可导，但“显然可导”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 为可导函数，且 $f^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{f(x)}$, $f(0)=0$, 则 $f^{\prime \prime }(0)$ 存在吗？如果存在等于多少？

难度评级：

二、解析

错误的解法：用一点处导数的定义无法求解

$$f^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(0)=-e^{f(0)}=-1\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)+1}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-e^{f(x)}+1}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-e^{f(x)}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-f(x)}{x}$$

正确的解法：直接求导

Tips:

虽然题目没说函数 $f(x)$ 二阶可导，但是，我们实际二阶求导所得的式子 $f^{\prime \prime }(x)$ $=$ $-f^{\prime }(x)\cdot e^{f(x)}$ 的确是存在的，因为式子中涉及的一阶导是已知存在的，因此，函数 $f(x)$ 二阶可导。

$$f^{\prime \prime }(x)={[-e^{f(x)}]}_x^{\prime }=-f^{\prime }(x)\cdot e^{f(x)}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)=-[-e^{f(x)}]\cdot e^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot e^{f(x)}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(0)=1\times 1=1$$

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