有界函数乘以零得零：但反过来并不成立

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 设在 $x=x_0$ 空心邻域 $\alpha (x)$ 为有界函数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

(B) 设 $x\to x_0$ 时 $\alpha (x)$ 为无穷小，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=a\ne 0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=\mathrm{\infty }$.

(C) 设 $x\to x_0$ 时 $\alpha (x)$ 为无穷大，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=a$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

(D) 设在 $x=x_0$ 空心邻域 $\alpha (x)$ 为无界函数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

难度评级：

二、解析

A 选项

题干

设在 $x=x_0$ 空心邻域 $\alpha (x)$ 为有界函数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

反例 01

若：

$$\alpha (x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数};\\ 0,& x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\end{array}$$

$$\beta (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数};\\ 1,& x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\end{array}$$

满足 $\alpha (x)$ 为有界函数且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 但是不满足 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

反例 02

若：

$$\beta (x)=\alpha (x)\beta (x)\cdot \frac{1}{\alpha (x)}$$

满足 $\alpha (x)$ 为有界函数且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 但 $\beta (x)$ 不一定等于零。

综上，A 选项错误。

B 选项

题干

设 $x\to x_0$ 时 $\alpha (x)$ 为无穷小，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=a\ne 0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=\mathrm{\infty }$.

分析

当 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ 是一个常数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)$ 是一个无穷小量时，$\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)$ 也必须是无穷小量，即：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$$

综上，B 选项错误。

C 选项

题干

设 $x\to x_0$ 时 $\alpha (x)$ 为无穷大，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=a$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

分析

若 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)$ 是一个常数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)$ 是一个无穷大量，则 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\frac{1}{\beta (x)}}$ 中的 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\beta (x)}$ 也必须是一个无穷大量，于是：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$$

综上，C 选项正确。

D 选项

题干

设在 $x=x_0$ 空心邻域 $\alpha (x)$ 为无界函数，且 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

分析

若 $\alpha (x)$ 为无界函数，且 $\beta (x)$ 刚好是在函数图像上与 $\alpha (x)$ 的图象完全相反的无界函数，则也能使 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$ 成立，此时，$\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)\ne 0$.

此外，我们也可以像 A 选项中的反例一样，令 $\beta (x)=\alpha (x)\beta (x)\cdot \frac{1}{\alpha (x)}$, 则满足 $\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)\beta (x)=0$, 但由于 $\frac{1}{\alpha (x)}$ 不一定是有界函数，因此不一定有 $\underset{x\to x_0}{lim}\beta (x)=0$.

综上，D 选项错误。

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