神奇的迪利克雷函数和一个违反直觉的高等数学结论

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，则必存在 $\delta >0$, 当 $x\in {\mathring{U}}_{\delta }\left(x_0\right)$ 时，$f(x)$ 必存在.

(B) 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，则必存在 $\delta >0$, 当 $x\in {\mathring{U}}_{\delta }\left(x_0\right)$ 时, $f(x)$ 亦连续.

(C) 若 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 必不存在.

(D) 若 $f\left(x_0\right)$ 不存在，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 必不存在.

难度评级：

二、解析

Tips:

${\mathring{U}}_{\delta }\left(x_0\right)$ 表示 $x_0$ 的去心邻域，即当 $\delta$ 非常小时，$(x_0–\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$ 这个区间。

A 选项

该选项其实就是函数在一点处极限的定义。由于函数在一点处即使没有定义，也可以有极限，因此，函数在一点处的定义其实是定义在其去心邻域上的，同时，将函数的极限定义在一个去心邻域（区间）上，也可以说明极限是一个“动态的过程”，而非一个“静态的值”。

所以，A 选项是正确的。

B 选项

B 选项对应的其实就是本文标题所说的“反直觉的结论”。首先说明，B 选项是错误的，以下是论述过程：

首先，我们需要有一个迪利克雷函数：

$$K(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数};\\ 0,& x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\end{array}$$

Tips:

一般情况下，我们认为：狄利克雷函数在有理数集合中处处连续，在无理数集合中也处处连续，但在实数集合中，狄利克雷函数处处不连续。

接着，令：

$$f(x)=x\cdot K(x)$$

Tips:

函数在一点处连续的定义是：函数在该点处的极限值（左极限和右极限）等于该点处的函数值。

于是，由于 $D(x)$ 是一个有界函数，因此，当 $x\to 0$ 时，我们有：

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}xK(x)=0$$

且：

$$f(0)=0\cdot 1=0$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 这一点处是连续的。

之后，我们设有点 $x=x_1$ 在 $0$ 的去心邻域 $\mathring{U}(0,\delta )$ 中，则必有 $x_1\ne 0$.

那么，当 $x_1$ 为无理数时，此时，迪利克雷函数 $K(x_1)=0$, 即：

$$f(x_1)=x_1\cdot K(x_1)=x_1\cdot 0=0$$

但是，当 $x_1$ 为有理数时，此时，迪利克雷函数 $K(x_1)=1$, 即：

$$f(x_1)=x_1\cdot K(x_1)=x_1\cdot 1=x_1\ne 0$$

综上可知，在函数 $f(x)$ 位于 $x=0$ 附近的去心邻域中，任意的有理数点上，$f(x)$ 均不连续。

综上，我们可以知道，函数在一点处连续与其在该点的去心邻域内连续【无关】。

C 选项

若 $x=x_0$ 为可去间断点，虽然 $f(x_0)$ 不存在，但是 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，因为在该点处左导数等于右导数。

所以，C 选项不正确。

D 选项

同 C 选项，一点处的函数值可以不存在，但不影响该点处的极限值存在，因为极限值存在只要该点左右两侧的极限值相等即可，与该点是否有定义等无关。

所以，D 选项不正确。

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