一、题目
$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}(x+1)}=?
$$
难度评级：
二、解析 
首先，给分母降幂：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}(x+1)} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{(x+1)-x}{x^{2}(x+1)} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~ d} x-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x=
$$
继续降幂：
$$
\left.\frac{-1}{x}\right|_{1} ^{+\infty}-\int_{1}^{+\infty} \frac{(x+1)-x}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
1-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x+1} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
1-\left.\ln x\right|_{1} ^{+\infty}+\left.\ln (x+1)\right|_{1} ^{+\infty}=
$$
$$
1-\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln x-0+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln (x+1)-\ln 2
$$
又：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln x=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \ln (x+1) \Rightarrow
$$
于是：
$$
I=1-\ln 2
$$
当然，对于 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x$ 的计算，还有以下两种方法：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x=\int_{1}^{+\infty} \frac{(x+1)-x}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) \mathrm{~ d} x=\left.[\ln x-\ln (x+1)]\right|_{1} ^{+\infty}=
$$
$$
\left.\ln \frac{x}{x+1}\right|_{1} ^{+\infty}=\ln 1-\ln \frac{1}{2}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\ln 2
$$
或者：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{~ d} x=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \Rightarrow
$$
$$
-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{x}\right)=
$$
$$
-\left.\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right|_{1} ^{+\infty}=-[\ln 1-\ln 2]=\ln 2
$$
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