什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时

一、题目

二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？

难度评级：

二、解析

注意 ：如果二元函数的极限存在，则通常可以使用放缩法求解其极限，具体可以阅读《怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法》这篇文章。

$$
\lim \limits_{\substack{\textcolor{red}{y=x} \\ x \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} x=0
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\textcolor{red}{y=x^{2}} \\ x \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim \limits_{\substack{\textcolor{red}{y=x^{2}} \\ x \rightarrow 0}} \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{4}}=\frac{1}{2}
$$

由于 $0 \neq \frac{1}{2}$, 因此，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处不连续，从而也就不可微。

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