什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时

一、题目

二元函数 $f(x,y)$ $=$ $\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？

难度评级：

二、解析

注意 ：如果二元函数的极限存在，则通常可以使用放缩法求解其极限，具体可以阅读《怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法》这篇文章。

$$\underset{\begin{array}{c}y=x\\ x\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3}{x^4+x^2}=\underset{x\to 0}{lim}x=0$$

$$\underset{\begin{array}{c}y=x^2\\ x\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=\underset{\begin{array}{c}y=x^2\\ x\to 0\end{array}}{lim}\frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}$$

由于 $0\ne \frac{1}{2}$, 因此，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，从而也就不可微。

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