怎么证明二元函数的极限存在:用放缩法

一、题目题目 - 荒原之梦

二元函数 f(x,y)={sin(x2y+y4)x2+y2,(x,y)(0,0),0,(x,y)=(0,0), 在点 (0,0) 处是否连续?fx(0,0)fy(0,0) 是否存在?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

注意 :放缩法求解二元函数的极值只适用于二元函数的极值存在的前提下,对于如何判断一个二元函数的极值是否存在,可以点击阅览《什么时候二元函数的极限不存在:沿不同直线或者曲线极限值不相等时》这篇文章。

方法一:放缩法

lim(x,y)(0,0)sin(x2y+y4)x2+y2

根据等价无穷小公式,可得:

lim(x,y)(0,0)x2y+y4x2+y2

又(x0, y0):

x2y+y4x2+y2|x2y+y4x2+y2|x2|y|+y4x2+y2

x2|y|x2+y2+y4x2+y2

x2x2+y2|y|+y2x2+y2y2|y|+y2

或者采取如下放缩方法:
|sin(x2y+y4)x2+y2||x2y+y4|x2+y2=
|x2x2+y2y+y2x2+y2y2|
|y+y2||y|+y2

又:

limx0y012x2=0limx0y0f(x,y)=0=f(0,0)

于是可知,函数 f(x) 在点 (0,0) 处连续。

又:

fy(0,0)=limΔy0x=0f(0,Δy)f(0,0)Δy

limΔy0x=0sin(Δy)4(Δy)3=limΔy0x=0(Δy)4(Δy)3=0

且:

fx(0,0)=limΔx0y=0f(Δx,0)f(0,0)Δx=

limΔx0y=00(Δx)3=0

于是可知,fx(0,0)fy(0,0) 都存在。

方法二:转为极坐标系求解

对于判断函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处是否连续这一问题,我们还可以采取将其转为极坐标系的方法进行判断。

事实上,当 α0, β0 时,对于形如 f(x,y)={xαyβx2+y2,(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0) 的式子,我们可以有如下计算过程和结论:

f(x,y)={xαyβx2+y2,(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0)

{x=rcosθy=rsinθr0+{x0y0

Tips: 此时,θ 为任意值。

limx0y0f(x,y)=limr0+rαcos2θrβsinβθr2=

limr0+rα+β2cosαθsinβθ

Tips:

cosαθsinβθ 是有界函数,因此,rα+β2cosαθsinβθ 的取值就取决于 rα+β2 的取值。

{α+β>2,f(x,y)=0.α+β<2,f(x,y) 不存在.

拓展资料 拓展资料 - 荒原之梦

针对使用放缩法求解二元函数的极值,我们还有如下这道题目可以参考:

limx0y0(xy)2x2+y2=limx0y0|(xy)2x2+y2|

又由常用不等式 a2+b22ab 可知:

limx0y0|(xy)2x2+y2|limx0y0|(xy)22xy|=limx0y012|xy|=0

于是:

limx0y0(xy)2x2+y2=0


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