怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法

一、题目

二元函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{lll}& \frac{\sin (x^{2}y+y^4)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ & 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_x^{\prime }(0,0)$ 和 $f_y^{\prime }(0,0)$ 是否存在？

难度评级：

二、解析

注意 ：放缩法求解二元函数的极值只适用于二元函数的极值存在的前提下，对于如何判断一个二元函数的极值是否存在，可以点击阅览《什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时》这篇文章。

方法一：放缩法

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{\sin (x^{2}y+y^4)}{x^2+y^2}\Rightarrow$$

根据等价无穷小公式，可得：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x^{2}y+y^4}{x^2+y^2}$$

又（$x\to 0$, $y\to 0$）：

$$\frac{x^{2}y+y^4}{x^2+y^2}⩽\left|\frac{x^{2}y+y^4}{x^2+y^2}\right|⩽\frac{x^2|y|+y^4}{x^2+y^2}⩽$$

$$\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{x^2+y^2}\Rightarrow$$

$$\frac{x^2}{x^2+y^2}|y|+\frac{y^2}{x^2+y^2}{y}^2⩽|y|+y^2$$

或者采取如下放缩方法：
$$\left|\frac{\sin (x^{2}y+y^4)}{x^2+y^2}\right|⩽\frac{|x^{2}y+y^4|}{x^2+y^2}=$$
$$|\frac{x^2}{x^2+y^2}y+\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot y^2|⩽$$
$$|y+y^2|⩽|y|+y^2$$

又：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{1}{2}{x}^2=0\Rightarrow \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=0=f(0,0)$$

于是可知，函数 $f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。

又：

$$f_y^{\prime }(0,0)=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }y\to 0\\ x=0\end{array}}{lim}\frac{f(0,\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }y}\Rightarrow$$

$$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }y\to 0\\ x=0\end{array}}{lim}\frac{\sin (\mathrm{\Delta }y{)}^4}{(\mathrm{\Delta }y{)}^3}=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }y\to 0\\ x=0\end{array}}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }y{)}^4}{(\mathrm{\Delta }y{)}^3}=0$$

且：

$$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\to 0\\ y=0\end{array}}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x,0)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }x}=$$

$$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\to 0\\ y=0\end{array}}{lim}\frac{0}{(\mathrm{\Delta }x{)}^3}=0$$

于是可知，$f_x^{\prime }(0,0)$ 和 $f_y^{\prime }(0,0)$ 都存在。

方法二：转为极坐标系求解

对于判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续这一问题，我们还可以采取将其转为极坐标系的方法进行判断。

事实上，当 $\alpha ⩾0$, $\beta ⩾0$ 时，对于形如 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha }{y}^{\beta }}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 的式子，我们可以有如下计算过程和结论：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha }{y}^{\beta }}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow r\to 0^{+}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\to 0\\ y\to 0\end{array}$$

Tips: 此时，$\theta$ 为任意值。

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{r^{\alpha }{\cos }^2\theta \cdot r^{\beta }{\sin }^{\beta }\theta }{r^2}=$$

$$\underset{r\to 0^{+}}{lim}{r}^{\alpha +\beta -2}{\cos }^{\alpha }\theta {\sin }^{\beta }\theta \Rightarrow$$

Tips:

${\cos }^{\alpha }\theta {\sin }^{\beta }\theta$ 是有界函数，因此，$r^{\alpha +\beta -2}{\cos }^{\alpha }\theta {\sin }^{\beta }\theta$ 的取值就取决于 $r^{\alpha +\beta -2}$ 的取值。

$$\{\begin{array}{ll}\alpha +\beta >2,& f(x,y)=0.\\ \alpha +\beta <2,& f(x,y)\text{不存在}.\end{array}$$

拓展资料

针对使用放缩法求解二元函数的极值，我们还有如下这道题目可以参考：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{(xy{)}^2}{x^2+y^2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\left|\frac{(xy{)}^2}{x^2+y^2}\right|$$

又由常用不等式 $a^2+b^2⩾2ab$ 可知：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\left|\frac{(xy{)}^2}{x^2+y^2}\right|⩽\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\left|\frac{(xy{)}^2}{2xy}\right|=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{1}{2}|xy|=0$$

于是：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{(xy{)}^2}{x^2+y^2}=0$$

---