不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_0^{n\pi }|\sin x|\mathrm{d}x}{(n+1)\pi }=?$$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n+1)\pi =n\pi$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n\pi }|\sin x|\mathrm{d}x=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot {\int }_0^{\pi }|\sin x|\mathrm{d}x=$$

$${\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot |-\cos x||}_0^{\pi }=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n|-(-1-1)|=2n$$

因此：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_0^{n\pi }|\sin x|\mathrm{d}x}{(n+1)\pi }=\frac{2n}{n\pi }=\frac{2}{\pi }$$

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