你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关

一、题目

已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 的邻域内可导, 则 $f^{'} (x_{0}) > 0$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 的某邻域内单调增的 ( )

(A) 充分必要条件

(B) 必要条件但非充分条件

(D) 既非必要也非充分条件

难度评级：

首先，高等数学理论知识中所学的“ $f (x) > 0$ $\Leftrightarrow$ 函数 $f (x)$ 单调递增”成立的前提是 $x$ 位于一个【区间】内，也就是说，前面所说的 $x$ 其实是包含位于一个区间内的【无数个点】的。

但是，本题所给的仅仅是函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 这一点处的一阶导大于零——一个点所能提供的约束或者能带来的结论在函数单调性问题上其实是很小的，小到可以忽略不计，因为，当我们讨论函数单调性时，我们讨论的其实是函数在一个“区间”内的表现，而不是在一点处的性质。

综上可知，对本题而言，正确的选项就是 $(D)$ 选项。

为了进一步论证上面的结论，我们可以举两个反例。

首先，若 $f (x) = x^{3}$ , 则 $f^{'} (0) = 0$ , 但是，我们知道， $f (x) = x^{3}$ 在其定义域内始终是单调递增的，因此：

$f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 的某邻域内单调增 $\Rightarrow$ $f^{'} (x_{0}) ⩾ 0$ .

又，若 $g (x) = {\begin{cases} x + 2 x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ , 则：

$g^{'} (0^{+}) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 2 x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} = 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x \sin \frac{1}{x} = 1 + 0^{+} = 1$

$g^{'} (0^{-}) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x + 2 x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} = 1 + lim_{x \to 0^{-}} 2 x \sin \frac{1}{x} = 1 + 0^{-} = 1$

即：

$g^{'} (0^{+}) = g^{'} (0^{-}) = g^{'} (0) = 1 > 0$

但是，函数 $g (x)$ 在 $x = 0$ 的邻域内并不是单调递增的，而是波浪递增的（如图 01 所示）——

事实上，一点处的一阶导大于零，只能说明这一点右侧的函数值全都大于该点左侧的函数值，但是，这并不能说明函数值是单调递增的，也可能是如图 01 所示的波浪递增：