n 阶导函数的最小值你会求解吗

一、题目

已知 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$, 则 $f^{(n)}(x)$ 在 $x$ 等于多少处取什么样的极小值？

难度评级：

二、解析

首先，对于函数 $f(x)$ 的 $n$ 次导，归纳求解如下：

$$
f^{\prime}(x)=e^{x}+x e^{x}=(x+1) e^{x}
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+(x+1) e^{x}=(x+2) e^{x}
$$

$$
\cdots
$$

$$
f^{(n)}(x)=(x+n) \cdot e^{x}
$$

于是，计算出一阶导等于零的点（驻点）：

$$
\left[f^{(n)}(x)\right]_{x}^{\prime}=(x+n+1) \cdot e^{x}=0 \Rightarrow
$$

$$
x_{0}=-(n+1)
$$

判断点 $x_{0}$ 是否是极小值点：

$$
\left[f^{(n)}(x)\right]_{x}^{\prime \prime}=(x+n+2) \cdot e^{x} \Rightarrow
$$

$$
x_{0} = -(n+1) \Rightarrow \left[f^{(n)}(x)\right]_{x}^{\prime \prime}>0
$$

于是可知，点 $x_{0} = -(n+1)$ 是极小值点。

继续求解对应的极小值：

$$
x_{0} =-(n+1) \Rightarrow
$$

$$
f^{(n)}(x)=(-n-1+n) \cdot e^{-(n+1)} \Rightarrow
$$

$$
f^{(n)}(x)=-e^{-(n+1)}
$$

综上可知，极小值点为 $x = -(n+1)$, 极小值为 $-e^{-(n+1)}$

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