n 阶导函数的最小值你会求解吗

一、题目

已知 $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$, 则 $f^{(n)}(x)$ 在 $x$ 等于多少处取什么样的极小值？

难度评级：

二、解析

首先，对于函数 $f(x)$ 的 $n$ 次导，归纳求解如下：

$$f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$$

$$f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$$

$$\cdots$$

$$f^{(n)}(x)=(x+n)\cdot e^x$$

于是，计算出一阶导等于零的点（驻点）：

$${[f^{(n)}(x)]}_x^{\prime }=(x+n+1)\cdot e^x=0\Rightarrow$$

$$x_0=-(n+1)$$

判断点 $x_0$ 是否是极小值点：

$${[f^{(n)}(x)]}_x^{\prime \prime }=(x+n+2)\cdot e^x\Rightarrow$$

$$x_0=-(n+1)\Rightarrow {[f^{(n)}(x)]}_x^{\prime \prime }>0$$

于是可知，点 $x_0=-(n+1)$ 是极小值点。

继续求解对应的极小值：

$$x_0=-(n+1)\Rightarrow$$

$$f^{(n)}(x)=(-n-1+n)\cdot e^{-(n+1)}\Rightarrow$$

$$f^{(n)}(x)=-e^{-(n+1)}$$

综上可知，极小值点为 $x=-(n+1)$, 极小值为 $-e^{-(n+1)}$

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