间断点不一定是不存在的点：间断点也可能是存在的，比如跳跃间断点

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+nx(1-x){\sin }^2\pi x}{1+n{\sin }^2\pi x}$, 则 $f(x)$ 的间断点是（）

难度评级：

二、解析

首先，类似于这道题，在本题中，还是要先求出来函数 $f(x)$ 的表达式：

$$x=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots \Rightarrow$$

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+0}{1+0}=x^2$$

$$x\ne 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots \Rightarrow$$

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+nx(1-x){\sin }^2\pi x}{1+n{\sin }^2\pi x}\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{x^2}{n}+x(1-x){\sin }^2\pi x}{\frac{1}{n}+{\sin }^2\pi x}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(1-x){\sin }^2\pi x}{{\sin }^2\pi x}\Rightarrow$$

$$f(x)=x(1-x)$$

于是，函数 $f(x)$ 的表达式如下：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}& x^2,x=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots \\ & x(1-x),x\ne 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots \end{array}$$

又：

$$\underset{x\to 0}{lim}x(1-x)=0\underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0$$

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处是连续的。

且：

$$k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& \underset{x\to k}{lim}x(1-x)=k(1-k)\\ & \underset{x\to k}{lim}{x}^2=k^2\end{array}\Rightarrow$$

$$k(1-k)\ne k^2.$$

于是，函数 $f(x)$ 的间断点为：

$$x=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$$

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