十八般武艺齐上阵:一道不是很简单的极限题 一、题目 limx→0(1+tanx1+sinx)1x3=? 难度评级: 二、解析 解法一:规范(复杂)解法 limx→0(1+tanx1+sinx)1x3= limx→0e1x3ln(1+tanx1+sinx) 又: I=limx→0ln(1+tanx1+sinx)x3⇒ I=limx→0ln(1+tanx)−ln(1+sinx)x3⇒ 洛必达运算: I=limx→01cos2x1+tanx−cosx1+sinx3x2. 其中: 1cosx1+tanx−cosx1+sinx=1cos2x(1+sinx)−cosx(1+tanx)(1+tanx)(1+sinx) 且: limx→0(1+tanx)(1+sinx)=1×1=1 于是: I=limx→01cos2x(1+sinx)−cosx(1+tanx)3x2⇒ I=limx→0cos2x[1cos2x(1+sinx)−cosx(1+tanx)]cos2x⋅3x2⇒ limx→01−cos3x+sinx(1−cos2x)3x2. 当 x→0 时,根据泰勒公式,有: cosx=1−12x2⇒ cos3x=(1−12x2)3⇒ cos3x=(1+14x4−x2)(1−12x2)⇒ cos3x=1−12x2+14x4−18x6−x2+12x4∼1−32x2⇒ 1−cos3x=1−1+32x2=32x2. 当 x→0 时,根据等价无穷小公式,有: sinx(1−cos2x)∼x⋅12x2=12x3 于是: I=limx→032x2+12x33x2=12 进而可知: limx→0(1+tanx1+sinx)1x3=e12. 不规范(简单)解法 limx→0(1+tanx1+sinx)1x3⇒ limx→0e1x3ln(1+tanx1+sinx)⇒ limx→0ln(1+tanx)−ln(1+sinx)x3⇒ 等价无穷小: limx→0tanx−sinxx3⇒ 等价无穷小: limx→012x3x3=12⇒ limx→0(1+tanx1+sinx)1x3=e12. 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 集火攻击:多种方法解一道题 披着数列极限外衣的函数无穷小问题:但是不能直接用等价无穷小公式哦 这道三角函数极限题你能秒解吗 计算极限问题时“抓大头”要慎重! 你能走出这个关于 ex 的迷宫吗? 取大头:分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法 往前走一步,视野大不同:对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形 比较两个无穷大(或无穷小)量的大小,需要用除法而不是减法 整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子 当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大 求解一点处的导数时,不一定要用定义法 乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响 极限型函数求间断点:先求出具体表达式 解这道题需要注意两点:可导必连续、一点处的导数要用定义求解 不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换:也可以尝试提取公因式 分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算 不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小 你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗? 特例法一般只能用在选择题中:因为特例只能得到正确答案的一部分 取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围:一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在 对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入,通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入 不趋于零的怎么求?凑成零! 分式中有变限积分?一“洛(洛必达)”解千愁! 带绝对值的式子一定要考虑清楚正负 你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗?