十八般武艺齐上阵:一道不是很简单的极限题

一、题目题目 - 荒原之梦

limx0(1+tanx1+sinx)1x3=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:规范(复杂)解法

limx0(1+tanx1+sinx)1x3=

limx0e1x3ln(1+tanx1+sinx)

又:

I=limx0ln(1+tanx1+sinx)x3

I=limx0ln(1+tanx)ln(1+sinx)x3

洛必达运算:

I=limx01cos2x1+tanxcosx1+sinx3x2.

其中:

1cosx1+tanxcosx1+sinx=1cos2x(1+sinx)cosx(1+tanx)(1+tanx)(1+sinx)

且:

limx0(1+tanx)(1+sinx)=1×1=1

于是:

I=limx01cos2x(1+sinx)cosx(1+tanx)3x2

I=limx0cos2x[1cos2x(1+sinx)cosx(1+tanx)]cos2x3x2

limx01cos3x+sinx(1cos2x)3x2.

x0 时,根据泰勒公式,有:

cosx=112x2

cos3x=(112x2)3

cos3x=(1+14x4x2)(112x2)

cos3x=112x2+14x418x6x2+12x4132x2

1cos3x=11+32x2=32x2.

x0 时,根据等价无穷小公式,有:

sinx(1cos2x)x12x2=12x3

于是:

I=limx032x2+12x33x2=12

进而可知:

limx0(1+tanx1+sinx)1x3=e12.

不规范(简单)解法

limx0(1+tanx1+sinx)1x3

limx0e1x3ln(1+tanx1+sinx)

limx0ln(1+tanx)ln(1+sinx)x3

等价无穷小:

limx0tanxsinxx3

等价无穷小:

limx012x3x3=12

limx0(1+tanx1+sinx)1x3=e12.


荒原之梦考研数学思维导图
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