有无穷多解的非齐次线性方程组的增广矩阵一定不满秩

一、题目

已知方程组 $\{\begin{array}{c}a{x}_1+x_2+x_3=a-3\\ x_1+a{x}_2+x_3=-2\\ x_1+x_2+a{x}_3=-2\end{array}$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$\left[\begin{array}{cccc}a& 1& 1& a-3\\ 1& a& 1& -2\\ 1& 1& a& -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}a& 1& 1& a-3\\ 1& a& 1& -2\\ 0& 1-a& a-1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& a& 1& -2\\ 0& 1-a^2& 1-a& 3a-3\\ 0& 1-a& a-1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& a& 1& -2\\ 0& 2-a^2-a& 0& 3a-3\\ 0& 1-a& a-1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}1-a=0\\ a-1=0\end{array}\Rightarrow a=1$$

或：

$$\{\begin{array}{l}2-a^2-a=0\\ 3a-3=0\end{array}\Rightarrow a=1$$

综上可知：

$$a=1.$$

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