有无穷多解的非齐次线性方程组的增广矩阵一定不满秩

一、题目

已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2
\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\left[\begin{array}{cccc}a & 1 & 1 & a-3 \\ 1 & a & 1 & -2 \\ 1 & 1 & a & -2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}a & 1 & 1 & a-3 \\ 1 & a & 1 & -2 \\ 0 & 1-a & a-1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 1 & -2 \\ 0 & 1-a^{2} & 1-a & 3 a-3 \\ 0 & 1-a & a-1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 1 & -2 \\ 0 & 2-a^{2}-a & 0 & 3 a-3 \\ 0 & 1-a & a-1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}1-a=0 \\ a-1=0\end{array} \Rightarrow a=1\right.
$$

或：

$$
\left\{\begin{array}{l}2-a^{2}-a=0 \\ 3 a-3=0\end{array} \Rightarrow a=1\right.
$$

综上可知：

$$
a = 1.
$$

---