齐次方程组经典例题：求基础解系

题目 02

齐次线性方程组 $\{\begin{array}{r}2x_1+x_2-2x_3+x_4=0\\ x_1-2x_2+4x_3-7x_4=0\\ 3x_1-x_2+2x_3-4x_4=0\end{array}$ 的基础解系是（）

难度评级：

解析 02

首先，将系数矩阵化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -2& 1\\ 1& -2& 4& -7\\ 3& -1& 2& -4\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 4& -7\\ 0& -5& -10& 15\\ 0& 5& -10& 17\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 4& -7\\ 0& 1& -2& 3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

于是可知，该系数矩阵的秩为 $3$, 因此，其有 $4-3=1$ 个自由未知数，该自由未知数为 $x_3$, 因此：

$$x_3=1,x_4=0\Rightarrow x_2=2,x_1=0$$

于是可知，该齐次线性方程组的基础解系为：

$$(0,2,1,0{)}^{\mathrm{\top }}$$

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