齐次方程组经典例题：求基础解系

题目 02

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}
2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}-7 x_{4}=0 \\
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right.$ 的基础解系是（）

难度评级：

解析 02

首先，将系数矩阵化简：

$$
\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -7 \\ 3 & -1 & 2 & -4\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & -7 \\ 0 & -5 & -10 & 15 \\ 0 & 5 & -10 & 17\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & -7 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

于是可知，该系数矩阵的秩为 $3$, 因此，其有 $4-3=1$ 个自由未知数，该自由未知数为 $x_{3}$, 因此：

$$
x_{3}=1, x_{4}=0 \Rightarrow x_{2}=2, x_{1}=0
$$

于是可知，该齐次线性方程组的基础解系为：

$$
(0, 2, 1, 0)^{\top}
$$

---