可逆矩阵的性质汇总

一、前言

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶 可逆矩阵，以下是其性质汇总。

二、正文

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{[01]} \quad AB = BA = E \\
& \textcolor{springgreen}{[02]} \quad A^{\top} B^{\top} = B^{\top} A^{\top} = E \\
\end{aligned}
$$

Tips:
当 $AB = BA = E$ 时，有：
$(AB)^{\top} = B^{\top}A^{\top}$ $\Leftrightarrow$ $(AB)^{\top} = (E)^{\top} = E$ $\Rightarrow$
$B^{\top} A^{\top} = E$
同理可得：$A^{\top} B^{\top} = E$

$$
\begin{align}
& \textcolor{springgreen}{[03]} \quad r(A) = r(B) = n \\
& \textcolor{springgreen}{[04]} \quad Ax = 0 \quad 只有零解 \\
& \textcolor{springgreen}{[05]} \quad Ax = b \quad 有唯一解 \\
& \textcolor{springgreen}{[06]} \quad A \quad 的行向量线性无关 \\
& \textcolor{springgreen}{[07]} \quad A \quad 的列向量线性无关 \\
& \textcolor{springgreen}{[08]} \quad A \quad 的特征值都不为零 \\
& \textcolor{springgreen}{[09]} \quad |A| \neq 0 \\
& \textcolor{springgreen}{[10]} \quad (A^{-1})^{-1} = A \\
& \textcolor{springgreen}{[11]} \quad (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \\
& \textcolor{springgreen}{[11]} \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \\
& \textcolor{springgreen}{[12]} \quad (A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top} \\
& \textcolor{springgreen}{[13]} \quad |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \\
& \textcolor{springgreen}{[14]} \quad 一般情况下，(A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}
\end{align}
$$

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