这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题

一、题目

已知 $f(t)={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t{\mathrm{e}}^{t{y}^2}\mathrm{d}y$, 则 $f^{\prime }(1)=?$

难度评级：

二、解析

$${\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t{e}^{t{y}^2}\mathrm{d}y\Rightarrow$$

交换积分次序：

$${\int }_0^t\mathrm{d}y{\int }_0^y{e}^{t{y}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^t{e}^{t{y}^2}\mathrm{d}y{\int }_0^{y}1\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{t}y{e}^{t{y}^2}\mathrm{d}y\Rightarrow$$

又：

$${\left(e^{t{y}^2}\right)}^{\prime }y=2yt\cdot e^{t{y}^2}.$$

于是：

$${\int }_0^{t}y{e}^{t{y}^2}\mathrm{d}y={\frac{1}{2t}{e}^{t{y}^2}|}_0^t=$$

$$\frac{1}{2t}(e^{t^3}-1)=f(t).$$

因此：

$$f^{\prime }(t)=\frac{-2}{4t^2}(e^{t^2}-1)+\frac{1}{2t}\left(3t^2{e}^{t^3}\right)$$

进而：

$$f^{\prime }(1)=\frac{-2}{4}(e-1)+\frac{1}{2}\times 3e=$$

$$\frac{-1}{2}e+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}e=e+\frac{1}{2}.$$

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