变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ ${\int }_{-x}^{0}tf(x+t)\mathrm{d}t$, 则 $g^{\prime }(x)=?$

难度评级：

二、解析

首先，令 $k=x+t$, 则：

$$t=k-x\Rightarrow \mathrm{d}t=\mathrm{d}k\Rightarrow$$

$$t\in (-x,0)\Rightarrow k\in (0,x)\Rightarrow$$

于是：

$$g(x)={\int }_{-x}^{0}tf(x+t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$g(x)={\int }_0^x(k-x)f(k)\mathrm{d}k\Rightarrow$$

因此：

$$g^{\prime }(x)={\int }_0^{x}kf(k)\mathrm{d}k-x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k.$$

$$g^{\prime }(x)=xf(x)-{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k-xf(x)\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=-{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k$$

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