判断数列的增减性既可以用除法也可以用减法

一、题目

已知 $a_0>0$, $a_n=a_{n-1}(a_{n-1}+1)(n=1,2,\cdots )$, 则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=?$

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二、解析

由题可知：

$$a_n>0.$$

错误的解法

$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}(a_{n-1}+1)}{a_{n-1}}=a_{n-1}+1\Rightarrow$$

分类讨论：

$$a_{n-1}+1>1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\to \mathrm{\infty }$$

$$0<a_{n-1}+1<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\to 0$$

正确的解法

$$a_n-a_{n-1}=a_{n-1}(a_{n-1}+1)-a_{n-1}=$$

$$a_{n-1}[a_{n-1}+1-1]={\left(a_{n-1}\right)}^2>0.$$

由上面的计算结果可知，数列 $a_n$ 是单调递增的数列。

但是，我们还需要解决一个问题，就是判断该数列是单调递增有极限，还是单调递增无极限。

假设数列 $a_n$ 单调递增有极限，则：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n-1}(a_{n-1}+1)\Rightarrow$$

$$a_{n\to \mathrm{\infty }}=a_n(a+1)\Rightarrow a_n=0.$$

上面的结果与 $a_n>0$ 相矛盾，因此，由反证法的原理可知，必有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }.$$

Tips:

由于 $a_n>0$, 因此 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 不仅是趋于无穷大的，而且是趋于正无穷大的。

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