往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形

一、题目

求解数列极限：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)=?$$

难度评级：

二、解析

解法 1

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\Rightarrow$$

$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan (\pi \sqrt{n^2+1}-n\pi )}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

提取公因式：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan \left[n\pi (\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1)\right]}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan \left[n\pi ({(1+\frac{1}{n^2})}^{\frac{1}{2}}-1)\right]}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

利用《等价无穷小公式》作变换：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan [n\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^2}]}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan [\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{n}]}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

再次利用《等价无穷小公式》作变换：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{\pi }{2}$$

解法 2

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)=$$

$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan (\pi \sqrt{n^2+1}-n\pi )=$$

提取公因式：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan (n\pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-n\pi )=$$

继续提取公因式：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left[n\pi (\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1)\right]=$$

分子有理化：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan [n\pi \cdot \frac{(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1)(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1)}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}]\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan [n\pi \cdot \frac{\frac{1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}]\Rightarrow$$

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\tan \left[\frac{\frac{\pi }{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\right]\Rightarrow$$

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\pi }{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\Rightarrow \frac{0}{\mathrm{\infty }}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\pi }{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\to 0.$$

于是，利用《等价无穷小公式》作变换：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot \frac{\frac{\pi }{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\Rightarrow$$

分母部分的极限存在（而且是一个非零常数），可以直接计算出来：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{\pi }{2}.$$

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