往前走一步，视野大不同：对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形

一、题目

求解数列极限：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
$$

难度评级：

二、解析

解法 1

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) \Rightarrow
$$

$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}-n \pi\right)}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

提取公因式：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi\left(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right)\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

利用《等价无穷小公式》作变换：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n}\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

再次利用《等价无穷小公式》作变换：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = \frac{\pi}{2}
$$

解法 2

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)=
$$

$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}-n \pi\right)=
$$

提取公因式：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-n \pi\right)=
$$

继续提取公因式：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\right]=
$$

分子有理化：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi \cdot \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi \cdot \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[\frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$

又：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \Rightarrow \frac{0}{\infty} \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \rightarrow 0.
$$

于是，利用《等价无穷小公式》作变换：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \Rightarrow
$$

分母部分的极限存在（而且是一个非零常数），可以直接计算出来：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}=\frac{\pi}{2}.
$$

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