往前走一步,视野大不同:对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形

一、题目题目 - 荒原之梦

求解数列极限:

I=limnntan(πn2+1)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 1

I=limnntan(πn2+1)

tanx 的周期为 π, 利用其周期性做恒等变形:

I=limntan(πn2+1nπ)1n

提取公因式:

I=limntan[nπ(1+1n21)]1n

I=limntan[nπ((1+1n2)121)]1n

利用《等价无穷小公式》作变换:

I=limntan[nπ121n2]1n

I=limntan[π21n]1n

再次利用《等价无穷小公式》作变换:

I=limnπ21n1n=π2

解法 2

I=limnntan(πn2+1)=

tanx 的周期为 π, 利用其周期性做恒等变形:

I=limnntan(πn2+1nπ)=

提取公因式:

I=limnntan(nπ1+1n2nπ)=

继续提取公因式:

I=limnntan[nπ(1+1n21)]=

分子有理化:

I=limnntan[nπ(1+1n21)(1+1n2+1)1+1n2+1]

I=limnntan[nπ1n21+1n2+1]

I=limnntan[πn1+1n2+1]

又:

limnπn1+1n2+10limnπn1+1n2+10.

于是,利用《等价无穷小公式》作变换:

I=limnnπn1+1n2+1

分母部分的极限存在(而且是一个非零常数),可以直接计算出来:

I=limnπ1+1n2+1=π2.


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