不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理

一、题目

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

解法 1：思维判断

由于：

$$
x \in(0,1), n \rightarrow \infty \Rightarrow
$$

$$
x^{n} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
x^{n} \sqrt{x+3} \rightarrow 0.
$$

也就是说，当 $x \in (0, 1)$ 时，次幂越高值越小，因此，直接可得：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x=0
$$

方法 2：放缩夹逼

由于：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} \mathrm{~ d} x \leqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x \leqslant
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 \mathrm{~ d} x
$$

且：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} \mathrm{~ d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 \mathrm{~ d} x=0 \Rightarrow
$$

因此：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x=0
$$

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