不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理

一、题目

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x + 3} d x = ?$

难度评级：

由于：

$x \in (0, 1), n \to \infty \Rightarrow$

$x^{n} \to 0 \Rightarrow$

$x^{n} \sqrt{x + 3} \to 0.$

也就是说，当 $x \in (0, 1)$ 时，次幂越高值越小，因此，直接可得：

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x + 3} d x = 0$

由于：

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} d x ⩽ lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x + 3} d x ⩽$

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 d x$

且：

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} d x = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 d x = 0 \Rightarrow$

因此：

$lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x + 3} d x = 0$

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