这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}-1}=?
$$

难度评级：

二、解析

由《高等数学 | 等价无穷小公式合辑：常用的不常用的都在这哦~》这篇文章，可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(1+x)^{2}-1 \simeq 2 x
$$

且，当：

$$
\beta(x) \rightarrow 0, \alpha(x) \beta(x) \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

有：

$$
[1+\beta(x)]^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \beta(x)
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}-1}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}})^{\frac{1}{4}}-1}{x \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{4}(1-\sqrt{1-x})^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{4}[-(\sqrt{1-x}-1)]^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{4} \cdot\left(\frac{1}{2} x\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{\frac{-1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}{1}=\frac{-1}{4 \sqrt[3]{2}}.
$$

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