这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x{)}^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}-1}=?$$

难度评级：

二、解析

由《高等数学 | 等价无穷小公式合辑：常用的不常用的都在这哦~》这篇文章，可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^2-1\simeq 2x$$

且，当：

$$\beta (x)\to 0,\alpha (x)\beta (x)\to 0\Rightarrow$$

有：

$$[1+\beta (x){]}^{\alpha (x)}-1\sim \alpha (x)\beta (x)$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x{)}^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}-1}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}{)}^{\frac{1}{4}}-1}{x\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{4}(1-\sqrt{1-x}{)}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{4}[-(\sqrt{1-x}-1){]}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{4}\cdot {\left(\frac{1}{2}x\right)}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{\frac{-1}{4}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}}{1}=\frac{-1}{4\sqrt[3]{2}}.$$

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