考研数学解题思路积累：和 $e^x$ 有关的那些式子

一、前言

在考研数学真题和练习题中，我们经常会遇到对包含 $e^x$ 或 $e^x$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算，由于 $e^x$ 的特殊性，这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——

荒原之梦网为此整理了和 $e^x$ 有关的常用解题思路，建议大家 收 藏 当前页面的链接，后续更新会第一时间发布在这里。

二、正文

特征总结：
01. 一般情况下，如果出现关于 $e^x$ 的分式，则会和 $e^{-x}$ 有关；
02. 一般情况下，如果出现 $1+e^x$ 的类似形式，则会和 $\ln$ 有关。

关于 $e$ 的反常积分，可以参考《常用的反常积分结论之 e 积分》

01

$$\int \frac{1}{e^x}dx=-e^{-x}+C$$

$$\iff$$

$${(-e^{-x})}_x^{\prime }=(-1)e^{-x}\cdot (-1)=e^{-x}=\frac{1}{e^x}.$$

02

$$\int \frac{1}{e^x+1}\mathrm{d}x=-\ln (1+e^{-x})+C$$

$$\iff$$

$${[-\ln (1+e^{-x})]}_x^{\prime }=-\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}=$$

$$\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{\frac{1}{e^x}}{\frac{e^x+1}{e^x}}\Rightarrow \frac{1}{e^x}\cdot \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1}{e^x+1}.$$

03

$$\int \frac{1}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int \frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x=\ln (1+e^x)+C.$$

同时可知，积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x$ 是发散的，因为：

$$\ln (1+e^x){|}_0^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }–0=+\mathrm{\infty }.$$

04

$$\frac{e^{-x}}{1+e^x}=\frac{\frac{1}{e^x}}{1+e^x}=\frac{1}{e^x(1+e^x)}=\frac{1}{e^x}-\frac{1}{1+e^x}.$$

05

$$\begin{array}{rl}& \int x{e}^x\mathrm{d}x=x{e}^x-e^x+C\\ & \iff \\ & [x{e}^x–e^x{]}_x^{\prime }=e^x+x{e}^x–e^x=x{e}^x\end{array}$$

$$\int x{e}^{-x}\mathrm{d}x=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C$$

06

$$\frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}=–\mathrm{d}(\frac{1}{e^x+1})$$

07

$$\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}=\frac{\frac{1}{e^x}}{(1+\frac{1}{e^x}{)}^2}=\frac{1}{e^x}\cdot \frac{(e^x{)}^2}{(e^x+1{)}^2}=\frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}.$$

08

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{e^x+1}=\frac{0}{1+1}=\frac{0}{2}=0.$$

09

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^x+1}\Rightarrow \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\underset{x+\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=0.$$

10

泊松积分公式：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

Tips:

$e^{-x^2}$ 本身是不存在原函数的，上述结论记住即可。

11

当 $a<0$ 时：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{ax}=0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{ax}=0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{ax}\cos \beta x=0$$

12

在涉及三角函数的时候，可能会产生“回环”，因此需要使用两次分部积分：

$$I=-\int \sin x{e}^{-x}\mathrm{d}x=$$

使用分部积分：

$$\int \sin x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)=$$

$$e^{-x}\sin x-\int e^{-x}\cos x\mathrm{d}x=$$

$$e^{-x}\sin x+[\cos x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)]=$$

再次使用分部积分：

$$e^{-x}\sin x+[e^{-x}\cos x+\int e^{-x}\sin x\mathrm{d}x]=I\Rightarrow$$

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+\int e^{-x}\sin x\mathrm{d}x=I\Rightarrow$$

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+(-I)=I\Rightarrow$$

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=+2I\Rightarrow$$

$$I=\frac{+1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$$

相关例题

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更新日志：
2024 年 04 月 14 日 第 05 次更新
2023 年 09 月 12 日 第 04 次更新
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2023 年 08 月 05 日 第 02 次更新
2023 年 07 月 14 日 第 01 次更新

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