一、题目
已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$
难度评级：
二、解析 
积分收敛，就意味着该积分有一个确切的值，因此，令（$A$ 为常数）：
$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x=A.
$$
则：
$$
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x-
$$
$$
\int_{0}^{+\infty}\left[\frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
A=\left.\arctan x\right|_{0} ^{+\infty}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
A=\frac{\pi}{2}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x.
$$
又：
接下来的计算过程可以参考这篇文章：《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}\right) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}} \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
-\left.e^{-x}\right|_{0} ^{+\infty}+\left.\ln \left(1+e^{-x}\right)\right|_{0} ^{+\infty}=
$$
$$
-(0-1)+(0-\ln 2)=1-\ln 2.
$$
于是：
$$
A=\frac{\pi}{2}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
A=\frac{\pi}{2}-A(1-\ln 2) \Rightarrow
$$
$$
A(2-\ln 2)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
$$
A=\frac{\pi}{2(2-\ln 2)}
$$