判断二元函数单条件极值的一道基础题

一、题目

函数 $f(x,y)$ $=$ $1+x+y$ 在区域 $x^2+y^2⩽1$ 上的最大值与最小值之积是多少？

难度评级：

二、解析

由于可导函数 $f(x,y)$ 在区域 $x^2+y^2⩽1$ 的内部不存在驻点，也就没有位于内部的极值点，因此，函数，$f(x,y)$ 的最大值和最小值一定在区域的边界 $x^2+y^2=1$ 处取得——使用单条件极值的计算公式计算即可。

$$x^2+y^2\le 1\Rightarrow x^2+y^2-1=0\Rightarrow$$

$$F(x,y,\lambda )=1+x+y+\lambda (x^2+y^2-1)\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& F_x^{\prime }=1+2\lambda x=0\\ & F_y^{\prime }=1+2\lambda y=0\\ & F_{\lambda }^{\prime }=x^2+y^2-1=0\end{array}\Rightarrow$$

$$x=y\Rightarrow$$

$$x^2+y^2-1=0\Rightarrow$$

$$2x^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$x=y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

于是：

$$\{\begin{array}{ll}& f(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\sqrt{2}\\ & f(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})=1-\sqrt{2}\end{array}$$

注意：使用上面的拉格朗日乘数法计算出来的只是“极值”，只有当函数在条件所指定的区域内部不存在极值点的时候，才能直接被当做最值使用，否则，还需要拿这里计算出来的极值和内部的极值作比较，才可以得出谁是最值的结论。

综上可知，最大值与最小值的乘积为：

$$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=1-2=-1$$

拓展资料

1. 二元函数求单条件极值：拉格朗日函数的构造

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