判断二元函数单条件极值的一道基础题

一、题目

函数 $f(x, y)$ $=$ $1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积是多少？

难度评级：

二、解析

由于可导函数 $f(x, y)$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 的内部不存在驻点，也就没有位于内部的极值点，因此，函数，$f(x ,y)$ 的最大值和最小值一定在区域的边界 $x^{2}+y^{2} = 1$ 处取得——使用单条件极值的计算公式计算即可。

$$
x^{2}+y^{2} \leq 1 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-1=0 \Rightarrow
$$

$$
F(x, y, \lambda)=1+x+y+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& F_{x}^{\prime}=1+2 \lambda x=0 \\
& F_{y}^{\prime}=1+2 \lambda y=0 \\
& F_{\lambda}^{\prime}=x^{2}+y^{2}-1=0
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
x=y \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+y^{2}-1=0 \Rightarrow
$$

$$
2 x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
x=y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$

于是：

$$
\begin{cases}
& f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+\sqrt{2} \\
& f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1-\sqrt{2}
\end{cases}
$$

注意：使用上面的拉格朗日乘数法计算出来的只是“极值”，只有当函数在条件所指定的区域内部不存在极值点的时候，才能直接被当做最值使用，否则，还需要拿这里计算出来的极值和内部的极值作比较，才可以得出谁是最值的结论。

综上可知，最大值与最小值的乘积为：

$$
(1+\sqrt{2}) \times(1-\sqrt{2})=1-2=-1
$$

拓展资料

1. 二元函数求单条件极值：拉格朗日函数的构造

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