时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $3 x^{2}+A x^{-3}$ $(x>0)$, 且 $A$ 为正的常数, 则 $A$ 至少为多少时, 有 $f(x) \geqslant 20$ $(x>0)$.

难度评级：

二、解析

由于本题中的函数可导且定义域为开区间，因此，其极值点如果存在的话，一定位于定义域内部的驻点上，也就是导数值为零的点上。

于是：

$$
f^{\prime}(x)=6 x-3 A x^{-4}=0 \Rightarrow
$$

$$
6 x_{0}=3 A x_{0}^{-4} \Rightarrow
$$

$$
2 x_{0}=A x_{0}^{-4} \Rightarrow
$$

$$
2 x_{0}^{5}=A \Rightarrow
$$

$$
x_{0}^{5}=\frac{A}{2} \Rightarrow
$$

$$
B=\frac{A}{2} \Rightarrow A=2 B \Rightarrow
$$

$$
x_{0}^{5}=B \Rightarrow
$$

$$
x_{0}=B^{\frac{1}{5}}.
$$

于是：

$$
f\left(x_{0}\right)=3\left(\frac{A}{2}\right)^{\frac{2}{5}}+A \cdot\left(\frac{A}{2}\right)^{\frac{-3}{5}} \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{0}\right)=3 B^{\frac{2}{5}}+2 B \cdot B^{\frac{-3}{5}} \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{0}\right)=3 B^{\frac{2}{5}}+2 B^{\frac{2}{5}}=20 \Rightarrow
$$

$$
5 B^{\frac{2}{5}}=20 \Rightarrow B^{\frac{2}{5}}=4 \Rightarrow\left(B^{2}\right)^{\frac{1}{5}}=2^{2} \Rightarrow
$$

$$
B^{\frac{1}{5}}=2 \Rightarrow B=2^{5} \Rightarrow A=2 B=2^{6}=64.
$$

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