求解二元隐函数的极值

一、题目

已知，隐函数 $z=z(x,y)>0$ 由方程式 $x^2$ $+$ $y^2$ $+$ $z^2$ $-$ $2x$ $-$ $2y$ $-$ $4z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定，则 $z=z(x,y)$ 的极值是多少？

难度评级：

二、解析

如果题目是一个填空或者选择题，并且明确说了让我们求解一个函数的极值，那么这个函数的极值一定是存在的，直接找到极值并确定是极大值还是极小值即可，不需要再求证极值是否存在：

$$x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-10=0\Rightarrow$$

分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：

$$2x+2z\cdot z_x^{\prime }-2-4z_x^{\prime }=0\mathrm{①}$$

$$2y+2z\cdot z_y^{\prime }-2-4z_y^{\prime }=0\mathrm{②}$$

接着：

$$\{\begin{array}{l}{z}_x^{\prime }=0\\ z_y^{\prime }=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x-2=0\\ 2y-2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$$

当 $x=1$, $y=1$ 时：

$$x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-10=0\Rightarrow$$

$$1+1+z^2-2-2-4z-10=0\Rightarrow$$

$$z^2-4z-12=0\Rightarrow$$

$$z=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{2}\Rightarrow$$

$$z=\frac{4\pm 8}{2}\Rightarrow$$

$$z>0\Rightarrow z=\frac{8+4}{2}=6.$$

基于 $\mathrm{①}$ 式继续对 $x$ 求偏导：

$$2+2z_x^{\prime }\cdot z_x^{\prime }+2z\cdot z_{xx}^{\prime \prime }-4z_{xx}^{\prime \prime }=0$$

将 $z=6$, $z_x^{\prime }=0$ 代入上式：

$$2+(12-4)z_{xx}^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$A=z_{xx}^{\prime \prime }=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}<0$$

于是，$(1,1)$ 是函数 $z(x,y)$ 的最小值点，最小值为：

$$z(1,1)=6.$$

Next

当然，如果需要判断一下该函数的极值是否存在，则有：

基于 $\mathrm{①}$ 式对 $y$ 求偏导：

$$2z_y^{\prime }\cdot z_x^{\prime }+2z\cdot z_{xy}^{\prime \prime }-4z_{xy}^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$z_x^{\prime }=0,z_y^{\prime }=0,z=6\Rightarrow$$

$$B=z_{xy}^{\prime \prime }=0.$$

基于 $\mathrm{②}$ 式对 $y$ 求偏导：

$$2+2z_y^{\prime }\cdot z_y^{\prime }+2z\cdot z_{yy}^{\prime \prime }-4z_{yy}^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$z_y^{\prime }=0,z=6\Rightarrow$$

$$2+8z_{yy}^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$C=z_{yy}^{\prime \prime }=\frac{-1}{4}$$

进而：

$$AC-B^2=\left(\frac{-1}{4}\right)\left(\frac{-1}{4}\right)-0>0$$

因此，点 $(1,1)$ 是函数 $z$ 的一个极值点。

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拓展资料

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