复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入

一、题目

已知函数 $f(u,v)$ 可微, 另一个函数 $z$ $=$ $z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z$ $-$ $y^2$ $=$ $x^{2}f(x-z,y)$ 确定, 则 ${\mathrm{d}z|}_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

当 $x=0$, $y=1$ 时：

$$(x+1)z-y^2=x^{2}f(x-z,y)\Rightarrow$$

$$z-1=0\Rightarrow z=1$$

又，当 $y=1$ 时：

$$(x+1)z-y^2=x^{2}f(x-z,y)\Rightarrow$$

$$(x+1)z-1=x^{2}f(x-z,1)\Rightarrow$$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$z+(x+1)z_x^{\prime }=2xf(x-z,1)+x^2[f_1^{\prime }(x-z,1)]\Rightarrow$$

$$x=0,z=1\Rightarrow$$

$$1+z_x^{\prime }=0\Rightarrow z_x^{\prime }=-1$$

同样的，当 $x=0$ 时：

$$(x+1)z-y^2=x^{2}f(x-z,y)\Rightarrow$$

$$z–y^2=0\Rightarrow$$

对 $y$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$z_y^{\prime }=2y\Rightarrow y=1\Rightarrow z_y^{\prime }=2$$

综上可得：

$$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y.$$

---