对隐函数计算全微分

一、题目

已知函数 $z=z(x,y)$ 由方程 ${\mathrm{e}}^{x+2y+3z}$ $+$ $xyz$ $=$ $1$ 确定，则 ${\mathrm{d}z|}_{(0.0)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

$$e^{x+2y+3z}+xyz=1\Rightarrow$$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$e^{x+2y+3z}\cdot (1+3z_x^{\prime })+yz+xy{z}_x^{\prime }=0\mathrm{①}$$

$$e^{x+2y+3z}+xyz=1\Rightarrow$$

对 $y$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$e^{x+2y+3z}\cdot (2+3z_y^{\prime })+xz+xy{z}_y^{\prime }=0\mathrm{②}$$

又：当 $x=0$, $y=0$ 时：

$$e^{0+0+3z}+0=1\Rightarrow z=0$$

因此，将 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 代入 $\mathrm{①}$ 式可得：

$$e^0\cdot (1+3z_x^{\prime })=0\Rightarrow$$

$$z_x^{\prime }=\frac{-1}{3}$$

将 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 代入 $\mathrm{②}$ 式可得：

$$e^0\cdot (2+3z_y^{\prime })=0\Rightarrow$$

$$z_y^{\prime }=\frac{-2}{3}$$

综上可知：

$$\mathrm{d}z{|}_{(0,0)}=\frac{-1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$$

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