使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $x^2$ ${\mathrm{e}}^{3x}$, 则 $f^{(n)}(0)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

本文中会用到的麦克劳林公式可以参考 这篇 和 这篇 文章。

涉及 $x=0$ 处 $n$ 阶导的问题可以考虑使用麦克劳林公式，如果要求解 $f^{(n)}(0)$, 则只需要使用麦克劳林公式表达出 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot x^n$ 即可。

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但是，由于 $f(x)$ $=$ $x^2$ ${\mathrm{e}}^{3x}$ 可以看作是由两个函数 $x^2$ 和 $e^{3x}$ 相乘得到的，直接进行麦克劳林展开计算量太大，因此，我们可以令：

$$g(x)=e^x$$

于是：

$$f(x)=x^2{e}^{3x}\Rightarrow$$

$$f(x)=x^{2}g(x)$$

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根据麦克劳林公式：

$$g(0)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\Rightarrow$$

$$g(0)=1+\frac{3}{1!}x+\frac{3^2}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}{x}^{n-2}+o(x^{n-2})$$

在上面的式子中，只需要将 $g(0)$ 展开到第 $n-2$ 项即可，因为要变成 $f(x)$ 还需要再乘以一个 $x^2$, 这样一来，$g(0)$ 的第 $n-2$ 项其实就是 $f(0)$ 的第 $n$ 项。

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于是：

$$f(0)=x^2[1+\frac{3}{1!}x+\frac{3^2}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}{x}^{n-2}+o(x^{n-2})]\Rightarrow$$

$$f(0)=x^2+\frac{3}{1!}{x}^3+\frac{3^2}{2!}{x}^4+\cdots +\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}{x}^n+o(x^{n-2})\Rightarrow$$

$$f(0)=x^2+\frac{3}{1!}{x}^3+\frac{3^2}{2!}{x}^4+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^{n-2}).$$

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即：

$$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}\Rightarrow$$

$$f^{(n)}(0)=\frac{3^{n-2}\cdot n!}{(n-2)!}\Rightarrow$$

$$f^{(n)}(0)=\frac{3^{n-2}\cdot n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=3^{n-2}n(n-1).$$

相关例题

[1]. 求导去积分符号，积分去求导符号

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