一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} = ?
$$
难度评级：
二、解析 
解法 1：分子有理化
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}) (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 – \sin x})}{(e^{x} – 1)(\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 – \sin x})} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + \tan x) – (1 – \sin x)}{(e^{x} – 1)(\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 – \sin x})} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \tan x + \sin x}{x(\sqrt{1} + \sqrt{1})} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2x}{2x} = 1.
$$
解法 2：等价无穷小的变体
关于下面所使用的等价无穷小，可以查看荒原之梦网的《等价无穷小的组合变体》这篇文章。
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{2}} – (1 – \sin x)^{\frac{1}{2}}}{e^{x} – 1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \tan x + \frac{1}{2} \sin x }{ x } =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x }{ x } = 1.
$$
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