指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

解法一：取“大头”，舍“小头”

首先，指数函数的增长速度远大于幂函数，如果是在变量趋于无穷大的情况下，那么指数函数的增长速度更是远远大于幂函数。

又知：

• $e^{x^{2}}$ 是一个指数函数；
• $x^{3}$ 是一个幂函数。

Next

因此，在 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，我们可以直接舍去相对 $e^{x^{2}}$ 而言非常小的 $x^{3}$, 即：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} )^{\frac{1}{x^{2}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e )^{\frac{x^{2}}{x^{2}}} = e.
$$

解法二：洛必达法则

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (e^{x^{2}} + x^{3}) } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln [ e^{x^{2}} (1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) ] } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln e^{x^{2}} + \ln (1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2} + \ln (1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{1 + \ln (1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{1} \times e^{ \ln ( 1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) }.
$$

Next

对 $\frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$ 做洛必达运算：

$$
( \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} )^{\prime} = \frac{3x^{2}}{2x e^{x^{2}}} = \frac{3x}{2 e^{x^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
( \frac{3x}{2 e^{x^{2}}} )^{\prime} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2x e^{x^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2x e^{x^{2}}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \ln (1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) \sim \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{ \ln ( 1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) } \rightarrow e^{0} = 1 \Rightarrow
$$

Next

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{1} \times e^{ \ln ( 1 + \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} ) } = e^{1} \times 1 = e.
$$

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