指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

limx(ex2+x3)1x2=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:取“大头”,舍“小头”

首先,指数函数的增长速度远大于幂函数,如果是在变量趋于无穷大的情况下,那么指数函数的增长速度更是远远大于幂函数。

又知:

  • ex2 是一个指数函数;
  • x3 是一个幂函数。

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因此,在 x 时,我们可以直接舍去相对 ex2 而言非常小的 x3, 即:

limx(ex2+x3)1x2=

limx(ex2)1x2=

limx(e)x2x2=e.

解法二:洛必达法则

limx(ex2+x3)1x2=

limxe1x2ln(ex2+x3)=

limxe1x2ln[ex2(1+x3ex2)]=

limxe1x2lnex2+ln(1+x3ex2)=

limxe1x2x2+ln(1+x3ex2)=

limxe1+ln(1+x3ex2)=

limxe1×eln(1+x3ex2).

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x3ex2 做洛必达运算:

(x3ex2)=3x22xex2=3x2ex2

(3x2ex2)=32×12xex2

limx12xex20

limxln(1+x3ex2)x3ex20

limxeln(1+x3ex2)e0=1

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于是:

limxe1×eln(1+x3ex2)=e1×1=e.


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