消根号的思路之“次幂归一”法

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1–\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{{\sin }^2{x}^2}=?$$

难度评级：

二、解析

本题包含 $\frac{1}{2}$ 次和 $\frac{1}{3}$ 次项，我们需要都转换为 $1$ 次项，这样才方便计算，同时也可以去掉根号。

由于，当 $x$ $\to$ $0$ 时：

$$1–\cos x=(1–\sqrt{\cos x})(1+\sqrt{\cos x})\Rightarrow$$

$$1–\sqrt{\cos x}=\frac{1–\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}\sim \frac{1}{4}{x}^2$$

又根据荒原之梦网的 这篇文章 可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1–\sqrt[3]{\cos x})\sim \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{6}{x}^2$$

Next

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1–\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{{\sin }^2{x}^2}\sim$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{4}{x}^2\cdot \frac{1}{6}{x}^2}{(\sin x^2{)}^2}\sim$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{4}{x}^2\cdot \frac{1}{6}{x}^2}{x^4}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{24}{x}^2}{x^4}=\frac{1}{24}.$$

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