消根号的思路之“次幂归一”法

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题包含 $\frac{1}{2}$ 次和 $\frac{1}{3}$ 次项，我们需要都转换为 $1$ 次项，这样才方便计算，同时也可以去掉根号。

由于，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
1 – \cos x = (1 – \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x}) \Rightarrow
$$

$$
1 – \sqrt{\cos x} = \frac{1 – \cos x}{1 + \sqrt{\cos x}} \sim \frac{1}{4} x^{2}
$$

又根据荒原之梦网的 这篇文章 可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1 – \sqrt[3]{\cos x}) \sim \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6} x^{2}
$$

Next

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} \sim
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{4} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{2}}{(\sin x^{2})^{2} } \sim
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{4} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{2}}{ x^{4} } =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{24} x^{2}}{ x^{4} } = \frac{1}{24}.
$$

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