多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例

一、题目

已知 $f(x + \frac{1}{x})$ $=$ $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x^{2}}$, 求解 $\lim_{x \rightarrow 3}$ $f(x)$.

难度评级：

二、解析

题目要我们计算的是

$$
\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = ?
$$

其实我们可以理解成：

$$
\lim_{t \rightarrow 3} f(t) = ?
$$

上面这个式子中的 $t$ 就代表函数 $f$ 的自变量。

Next

同时，我们知道，在下面这个原式中，$x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 是要被看成一个整体的——在这个式子中，$x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 作为一个整体扮演了函数 $f$ 的自变量的角色：

$$
f(x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}
$$

因此，我们需要对 $x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 做代换，变成 $f(t)$ 这种用一个变量表示自变量的形式之后才能继续进行接下来的计算。

Next

但是，如果我们直接令 $t$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{x}$, 就会发现，我们很难通过这种代换方法写出用 $t$ 表示的 $x$.

也就是说，通过从原式等号左边的 $f(x + \frac{1}{x})$ 入手去做变量代换的这条路不好走。

Next

那我们只能转变一下思路，尝试从原式等号右边的 $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x}$ 入手做变量代换了——只要我们让原式等号右边该出现变量的地方都用 $x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 表示即可。

又：

$$
(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2
$$

因此：

$$
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} – 2
$$

Next

于是：

$$
f(x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(\textcolor{orange}{x + \frac{1}{x}}) = (\textcolor{orange}{x + \frac{1}{x}})^{2} – 2 \Rightarrow
$$

$$
f(t) = t^{2} – 2 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{t \rightarrow 3} f(t) = f(3) = 3^{2} – 2 = 9 – 2 = 7.
$$

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