多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例

一、题目

已知 $f(x+\frac{1}{x})$ $=$ $x^2$ $+$ $\frac{1}{x^2}$, 求解 $\underset{x\to 3}{lim}$ $f(x)$.

难度评级：

二、解析

题目要我们计算的是

$$\underset{x\to 3}{lim}f(x)=?$$

其实我们可以理解成：

$$\underset{t\to 3}{lim}f(t)=?$$

上面这个式子中的 $t$ 就代表函数 $f$ 的自变量。

Next

同时，我们知道，在下面这个原式中，$x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 是要被看成一个整体的——在这个式子中，$x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 作为一个整体扮演了函数 $f$ 的自变量的角色：

$$f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}$$

因此，我们需要对 $x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 做代换，变成 $f(t)$ 这种用一个变量表示自变量的形式之后才能继续进行接下来的计算。

Next

但是，如果我们直接令 $t$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{x}$, 就会发现，我们很难通过这种代换方法写出用 $t$ 表示的 $x$.

也就是说，通过从原式等号左边的 $f(x+\frac{1}{x})$ 入手去做变量代换的这条路不好走。

Next

那我们只能转变一下思路，尝试从原式等号右边的 $x^2$ $+$ $\frac{1}{x}$ 入手做变量代换了——只要我们让原式等号右边该出现变量的地方都用 $x$ $+$ $\frac{1}{x}$ 表示即可。

又：

$$(x+\frac{1}{x}{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$$

因此：

$$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x}{)}^2–2$$

Next

于是：

$$f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}\Rightarrow$$

$$f(x+\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x}{)}^2–2\Rightarrow$$

$$f(t)=t^2–2\Rightarrow$$

$$\underset{t\to 3}{lim}f(t)=f(3)=3^2–2=9–2=7.$$

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