求解定积分 ${\int }_0^1$ $x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}$

一、题目

$${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}=?$$

难度评级：

二、解析

对于这类带有平方和根号的积分式子，我们可以尝试使用三角代换求解，但是，在本题中，我们不能通过令 $x$ $=$ $\sin t$ 的方式进行三角代换，因为这样会产生一个我们无法直接通过现有的公式转换的式子 $1$ $-$ ${\sin }^{4}x$——详见《${\sin }^{4}x$ $+$ ${\cos }^{4}x$ 等于 $1$ 吗？》

于是，我们只能令：

$$x^2=\sin t$$

Next

进而可知：

$$x\in (0,1)\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{2})$$

$$x>0\Rightarrow x=\sqrt{\sin t}$$

$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sqrt{\sin t})=\frac{1}{2}\frac{\cos t}{\sqrt{\sin t}}\mathrm{d}t.$$

Next

于是：

$${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\sin t}(1–{\sin }^{2}t{)}^{\frac{3}{2}}\frac{\cos t}{\sqrt{\sin t}}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}t{)}^{\frac{3}{2}}\cos t\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}t\mathrm{d}t=$$

Next

点火公式 $\Rightarrow$

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{32}.$$

---