什么时候该舍去较小的无穷大？以 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sin \pi \sqrt{4n^2+n}$ 为例

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \pi \sqrt{4n^2+n}=?$$

难度评级：

二、解析

本题的一个错误解法就是认为，当 $n$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时，有：

$$\sqrt{4n^2+n}\sim \sqrt{4n^2}\sim 2n.$$

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从而得出如下错误结论：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \pi \sqrt{4n^2+n}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin 2n\pi =0$$

或者：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin 2n\pi \Rightarrow \mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}$$

错误原因：只有在关于 $n$ 的分式中，才可以将远小于 $n^2$ 的 $n$ 舍去，否则就不能直接舍去。

如果是 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt{4n^2+100}$, 则其中的 “$100$” 就可以直接舍去，而不需要构建出“分式”后再舍去。

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正确的解法如下：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \pi \sqrt{4n^2+n}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin [2n\pi +(\pi \sqrt{4n^2+n}–2n\pi )]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin [2n\pi +(\sqrt{4n^2+n}–2n)\pi ]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\sqrt{4n^2+n}–2n)\pi =$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin [\frac{(\sqrt{4n^2+n}–2n)(\sqrt{4n^2+n}+2n)}{\sqrt{4n^2+n}+2n}]\pi =$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{2n+n–2n}{\sqrt{4n^2+n}+2n})\pi =$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n})\pi =$$

上式存在关于且仅关于 $n$ 的分式 $\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}$, 因此，我们可以将 $\sqrt{4n^2+n}$ 中的 $n$ 舍去。

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$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n})\pi =$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{n}{4n})\pi =$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

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