一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是( )
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
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继续阅读“0 乘以无穷大(∞)还是 0,震荡时无穷大不存在”当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是( )
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
难度评级:
继续阅读“0 乘以无穷大(∞)还是 0,震荡时无穷大不存在”三角函数 $y = \sin x$ 是考研数学中常用的函数之一。在本文中,荒原之梦考研数学将给出关于三角函数 $y = \sin x$ 的函数图像以及常用的特殊点,以供大家参考查阅。
难度评级:
继续阅读“三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点”一般情况下,对于下面这些量是无穷大量,我们应该是没有疑问的:
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x^{2} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } e^{x} & \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
但是,对于下面这些量是否是无穷大量,我们可能会有一些疑问,在本文中,荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问:
$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \rightarrow ? \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \rightarrow ?
\end{aligned}
$$
细致的粉刷自己的生活,不是虚伪或掩饰,而是认真,认真的对待每一片天空的日出日落,认真的感受每一刻时光的凹凸质感。
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利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中,荒原之梦考研数学将通过多张函数图像,形象的阐述清楚该考点的原理,还会通过一些例题,加深同学们对该考点的理解。
读书,无关风雅,而是一种人生的态度,一种昂扬的姿态,一种处世的风格。
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已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$,且有如下说法:
① 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 收敛,则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
② 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 单调,则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
③ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛,则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
④ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调,则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
则上面的说法中,正确的是哪些?
(A). ① ②
(C). ① ③
(B). ③ ④
(D). ② ④
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继续阅读“对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定”$I$ $=$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \sigma \int_{0}^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r$ $=$ $?$
(A) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{0}^{1} f\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(B) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{1}^{x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(C) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(r) r \mathrm{~d} \sigma$ $+$ $\int_{1}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f(r) r$ $\mathrm{~d} \sigma$
(D) $\int_{0}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{dr}$ $\int_{\arcsin \frac{1}{\mathrm{r}}}^{\frac{\pi}{4}}$ $f(\mathrm{r})$ $\mathrm{~d} \sigma$
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继续阅读“极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算”已知,当 $x \rightarrow + \infty$ 时, $f(x)$, $g(x)$ 都是无穷大, 则当 $x \rightarrow + \infty$ 时, 下列结论正确的是哪个?
A. $f(x)-g(x)$ 是无穷小
C. $\frac{f(x)+g(x)}{f(x) g(x)}$ 是无穷小
B. $f(x)+g(x)$ 是无穷大
D. $\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
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继续阅读“无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大”已知,函数 $f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x+x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1-x+x^{2}}$, 则 ( )
A. $f(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 为无界函数
B. $f(x)$ 为偶函数
D. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $1$
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继续阅读“对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头””设函数 $f(x)$ $=$ $\cos (\sin x)$, $g(x)$ $=$ $\sin (\cos x)$, 则当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时,可以判断( )
A. $f(x)$ 单调增加,$g(x)$ 单调减少
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调减少
B. $f(x)$ 单调减少,$g(x)$ 单调增加
D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调增加
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继续阅读“利用单调函数的定义判断复合函数的单调性”在《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇笔记中,我们涉及了复合运算对函数奇偶性的影响。在本文,荒原之梦考研数学将只从复合运算的角度,总结复合运算对单调性和奇偶性的影响,以供同学们参考。
继续阅读“复合运算对单调性和奇偶性的影响”$I$ $=$ $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}$ $(2 x+3 y)^{2}$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $?$
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继续阅读“利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分”函数 $f(x)$ $=$ $|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}$, $x \in(-\infty, +\infty)$, 是 ( )
A. 单调函数
C. 有界函数
B. 周期函数
D. 偶函数
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继续阅读“这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解””