高等数学练习题归档

极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目

已知 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$, 并且 $K \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K – \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $\left| A_{n} \right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$

⟨D⟩» $\left| A_{n} \right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \rightarrow \infty$ 的时候，$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时，都有：

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说，当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \rightarrow \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K + \frac{2}{n} \right) > \left( K + \frac{1}{n} \right) \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} > \left( K + \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
\textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} < \left( K + \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$

类似的，当 $n \rightarrow \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K – \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K – \frac{2}{n} \right) < \left( K – \frac{1}{n} \right) \\ \\ \textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} < \left( K – \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\ \textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} > \left( K – \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且：

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \rightarrow \infty$ 时，上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立，并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0
$$

于是，根据极限的定义可知，若令 $\xi = \frac{|K|}{2}$, 则一定存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \left( \textcolor{orange}{ \Big| |A_{n}| − |K⁢⁢⁢|⁢⁢⁢ \Big| } \right) < \left( \textcolor{orange}{ \xi = \frac{∣⁢⁢⁢K⁢⁢⁢∣}{2} } \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \Big| |A_{n}| − |⁢K|⁢⁢⁢ \Big| < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{-|K|}{2} < \left( \textcolor{pink}{ |A_{n}| − |K⁢⁢⁢| } \right) < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < \frac{3 |K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ |A_{n}| < |K| } \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < |K| \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$, $\xi$ $\in$ $(0, |K|)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$$
\textcolor{yellow}{
|A_{n}| > k |K|
}
$$

综上可知，C 选项正确。