高等数学练习题归档

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1 - \cos x}$ $=$ $- 16$ , 则在点 $x = 0$ 处 $f (x)$ ( )

»A« 取得极大值.

»C« 不可导.

»B« 取得极小值.

»D« 可导，且 $f^{'} (0) \neq 0$ .

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一、题目

$I = lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^{x}} - \frac{x}{e}] = ?$

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一、题目

若函数 $f (x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时， $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)} (x)$ $=$ $?$

»A« $n! f^{2 n} (x)$

»B« $n! f^{n + 1} (x)$

»C« $n f^{2 n} (x)$

»D« $n f^{n + 1} (x)$

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对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目

$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \cos (β x) d x = ? \\ I_{2} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \sin (β x) d x = ? \end{aligned}$

其中， $α > 0$ .

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一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \to + \infty$ , 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

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一、题目

$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k + 1)!} = ?$

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“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

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一、题目

下面的极限中，结论正确的是哪个？

»A« $lim_{x \to 0} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $e$

»B« $lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $1$

»C« $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{- x}$ $=$ $e$

»D« $lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $- e$

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一、题目

已知 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ , 并且 $K \neq 0$ , 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K - \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $| A_{n} |$ $>$ $\frac{| K |}{2}$

⟨D⟩» $| A_{n} |$ $<$ $\frac{| K |}{2}$

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二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \to \infty$ 的时候， $\frac{1}{x}$ , $\frac{2}{x}$ , $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{100}$ , 还是 $\frac{1}{9999999}$ , 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$1 + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \neq 1$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$ , 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \to \infty$ 时，都有：

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

也就是说，当 $n \to \infty$ 时：

$K + \frac{1}{n} = K - \frac{1}{n} = K$

又由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$\begin{aligned} A_{n} & = K + \frac{1}{n} ✓ \\ A_{n} & = K - \frac{1}{n} ✓ \end{aligned}$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K + \frac{2}{n}) > (K + \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} > (K + \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} < (K + \frac{1}{n}) \end{aligned}$

类似的，当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K - \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K - \frac{2}{n}) < (K - \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} < (K - \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} > (K - \frac{1}{n}) \end{aligned}$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0 \end{matrix}$

且：

$\frac{| K |}{2} > 0$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \to \infty$ 时，上面的 $(1)$ 式一定成立，并且 $\frac{| K |}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$| K | > \frac{| K |}{2}$

即：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | > \frac{| K |}{2}$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0$

于是，根据极限的定义可知，若令 $ξ = \frac{| K |}{2}$ , 则一定存在正整数 $N$ , 使得当 $n > N$ 时，有：

$\begin{aligned} (| | A_{n} | - | K | |) < (ξ = \frac{∣ K ∣}{2}) \\ \Rightarrow & | | A_{n} | - | K | | < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{- | K |}{2} < (| A_{n} | - | K |) < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < \frac{3 | K |}{2} \\ \Rightarrow & | A_{n} | < | K | \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < | K | ✓ \end{aligned}$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$ , $ξ$ $\in$ $(0, | K |)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$| A_{n} | > k | K |$

综上可知，C 选项正确。

高等数学

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线性代数

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特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

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没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, ${α_{n}}$ 与 ${β_{n}}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$I = lim_{n \to \infty} \frac{f (x_{0} + α_{n}) - f (x_{0} - β_{n})}{α_{n} + β_{n}}$

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证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$lim_{n \to \infty} n [{(1 + \frac{1}{n})}^{n} - e] = ?$

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复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目

已知 $u$ $=$ $\frac{x + y}{2}$ , $v$ $=$ $\frac{x - y}{2}$ , $w$ $=$ $z e^{y}$ , 取 $u$ , $v$ 为新自变量， $w$ $=$ $w (u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z$

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计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0, 1)$ 内可导，且：

$f (1) = k \int_{0}^{\frac{1}{k}} x e^{1 - x} f (x) d x$

其中常数 $k > 1$ .

请证明存在 $ξ \in (0, 1)$ , 使得下式成立：

$f^{'} (ξ) = (1 - \frac{1}{ξ}) \cdot f (ξ)$

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导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 二阶可导，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f (n - x)$ , $f (0)$ $=$ $1$ , 则：

$f (x) = ?$

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标签：高等数学练习题

乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

一、题目

求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

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扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目

极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目

二、解析

“无穷小”和“有限小”

⟨A⟩ & ⟨B⟩

⟨C⟩ & ⟨D⟩

高等数学

线性代数

特别专题

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一、题目

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一、题目