考研数学二归档 - 第7页共141页 - 荒原之梦

对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$y = \log_{5} (\frac{x}{1 - x})$

则：

$\frac{d y}{d x} = ?$

Tip

$y$ $=$ $\log_{5} (\frac{x}{1 - x})$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1 - x}}$
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考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “ $a x$ $+$ $b$ ” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

求导去积分符号，积分去求导符号

一、题目

已知 $f (x)$ 为连续函数，且 $f (x)$ $=$ $\int_{0}^{x} e^{- f (t)} d t$ , 则当 $n$ $⩾$ $2$ 时：

$f^{(n)} (0) = ?$

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考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $η_{1}$ , $η_{2}$ , $η_{3}$ 均是 $A x$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} η_{1}$ $+$ $k_{2} η_{2}$ $+$ $k_{3} η_{3}$ 也是 $A x$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

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不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $r (A)$ $=$ $n - 1$ , $α_{1}$ , $α_{2}$ 是齐次线性方程组 $A x$ $=$ $0$ 的两个不同的解， $k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $A x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k α_{1}$

[B]. $k α_{2}$

[C]. $k (α_{1}$ $+$ $α_{2})$

[D]. $k (α_{1}$ $-$ $α_{2})$

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利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

求可逆矩阵 $C$ , 使得下式成立：

$C^{⊤} A C = B$

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对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（ $E$ ）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $E$ 的如下写法：

$\begin{array}{r} E_{12} E_{23} E_{31} \dots \end{array}$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

自然常数 e 的那些事

自然常数 e 的那些事 | 荒原之梦考研数学 | 图 01.
原始文件作者：Cronholm144, 原始文件授权协议：知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议。 — 图 01. 图中绿色部分的面积刚好是 $e$ , 因为，当 $x = e$ 的时候， $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ $=$ $1.$

这道题目看似很简单，但全身都是“坑”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x) + x f (x)}{x^{2}} = 3$

则：

$lim_{x \to 0} \frac{2 + f (x)}{x} = ?$

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数字零和极限零有什么区别？

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（ $= 0$ ）和趋于零（ $\to 0$ ）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $0$ $⩽$ $θ$ $⩽$ $3 π$ , 且：

$r (θ) = {(\sin \frac{θ}{3})}^{3}$

则曲线 $r (θ)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r (θ)$ 的极坐标方程也写作： $r (θ)$ $=$ $\sin^{3} \frac{θ}{3}$ .

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