考研数学二归档 - 第4页共141页 - 荒原之梦

对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：
$\begin{aligned} D & = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | \\ D_{1} & = | \begin{array}{c} 2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\ 2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\ 2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33} \end{array} | \end{aligned}$

则：
$D_{1} = ?$

[A]. $2 D$

[C]. $2^{9} D$

[B]. $2^{3} D$

[D]. $2 \cdot 3 D$

解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目

已知 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ （其中 $s ⩽ n$ ）是一组 $n$ 维列向量， $A$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：

$\begin{aligned} A α_{1} = α_{2}, \\ A α_{2} = α_{3}, \\ \dots, \\ A α_{s - 1} = α_{s} \neq 0, \\ A α_{s} = 0 \end{aligned}$

请证明向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ 线性无关。

难度评级：

加减乘除运算对函数图象形状的影响

一、前言

对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。

伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解

一、前言

伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. 实数轴上的一些伽马函数的图象。 — 图 01. 实数轴上的一些伽马函数的图象。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。

计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$D = | \begin{matrix} a_{0} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{matrix} | = ?$

难度评级：

考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$\exp (x)$

没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, ${α_{n}}$ 与 ${β_{n}}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$I = lim_{n \to \infty} \frac{f (x_{0} + α_{n}) - f (x_{0} - β_{n})}{α_{n} + β_{n}}$

难度评级：

借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$\begin{aligned} f^{'} (x_{0}) \\ = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} \end{aligned}$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$lim_{n \to \infty} n [{(1 + \frac{1}{n})}^{n} - e] = ?$

难度评级：

连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $F (x)$ 就是偶函数；如果函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $F (x)$ 就是奇函数：

$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f (x)$ 的奇偶性会对函数 $F (x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$F (x) = \int_{0}^{x} g (x) \cdot f (t) d t$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用 | 荒原之梦考研数学 — 图 01.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目

已知 $u$ $=$ $\frac{x + y}{2}$ , $v$ $=$ $\frac{x - y}{2}$ , $w$ $=$ $z e^{y}$ , 取 $u$ , $v$ 为新自变量， $w$ $=$ $w (u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z$

难度评级：

关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。